Aloha :)
Wir betrachten zwei konvergente Folgen \((a_n)\to a\) und \((b_n)\to b\) reeller Zahlen mit \(b\ne0\). Da bereits bekannt ist, dass das Produkt zweier konvergenter reeller Folgen gegen das Produkt der Grenzwerte konvergiert, führen wir die Quotienten-Folge \(\left(\frac{a_n}{b_n}\right)\) auf eine Produkt-Folge \(\left(a_n\cdot\frac{1}{b_n}\right)\) zurück.
Dann reicht es zu zeigen, dass die Folge \(\left(\frac{1}{b_n}\right)\to\frac{1}{b}\) konvergiert.
Schritt 1: Da \(b\ne0\) ist, gibt es ein \(n_0\in\mathbb{N}\), sodass \(\left|b_n-b\right|<\frac{|b|}{2}\) für alle \(\red{n\ge n_0}\):$$-\frac{|b|}{2}<b_n-b<\frac{|b|}{2}\implies b-\frac{|b|}{2}<b_n<b+\frac{|b|}{2}$$Für \(b>0\) heißt das: \(b_n>b-\frac b2=\frac b2\).
Für \(b<0\) heißt das: \(b_n<b-\frac b2=\frac b2\)
Das können wir zusammenfassen:$$|b_n|>\frac{|b|}{2}\quad\text{bzw.}\quad\red{\frac{1}{|b_n|}<\frac{2}{|b|}}$$Das heißt insbesondere \(b_n\ne0\) für alle \(n\ge n_0\).
Schritt 2: Wählen wir nun ein \(\varepsilon>0\) beliebig, dann gibt es ein \(n_1\in\mathbb{N}\), sodass:$$\green{\left|b_n-b\right|<\frac{\varepsilon|b|^2}{2}}\quad;\quad \green{n\ge n_1}$$
Schritt 3: Für \(n\ge\max\{n_0;n_1\}\) sind beide Ungleichungen erfüllt und wir erhalten:
$$\left|\frac{1}{b_n}-\frac{1}{b}\right|=\left|\frac{b-b_n}{b_nb}\right|=\red{\frac{1}{|b_n|}}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot\green{\left|b-b_n\right|}<\red{\frac{2}{|b|}}\cdot\frac{1}{|b|}\cdot\green{\frac{\varepsilon|b|^2}{2}}=\varepsilon$$
Da \(\varepsilon>0\) beliebig gewählt wurde, haben wir gezeigt, dass:$$\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{1}{b_n}\right)=\frac{1}{b}$$
