Zeigen Sie, dass F linear ist.

Question

Aufgabe:

Sei \( n \in \mathrm{N} \) fest und \( P_{n} \) der Vektorraum der Polynomfunktionen von Grad \( \leq n \). Wir betrachten die Abbildung \( F: P_{n} \rightarrow P_{n} \) mit \( [F(p)](x)=p^{\prime}(x)+p(x+1) \), wobei \( p^{\prime} \) wie üblich die Ableitung von \( p \) bezeichnet.

(a) Zeigen Sie dass \( F \) linear ist.

(b) Sei \( n=3 \). Bestimmen Sie die Koordinatendarstellung von \( F \) bezüglich der Monomialen Basis \( \left(p_{0}, p_{1}, \ldots, p_{3}\right) \) von \( P_{3} \) mit \( p_{k}(x)=x^{k} \) für \( 0 \leq k \leq 3 \).

Problem/Ansatz:

Bräuchte Hilfe bei der Aufgabe in jeglicher Hinsicht.

Comments

Willst Du das wissen was im Titel steht, oder das was in der Aufgabe steht?

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Was in der Aufgabe steht. Sry wusste nicht wirklich was ich als Titel nehmen soll.

Answer 1

linear: Seien p und q aus P_n .

Zeige F(p+q) = F(p) + F(q)  und entsprechend F(k*p)=k*F(p) für alle k∈ℝ.

z.B. das zweite so: [F(k*p)] (x) = (k*p)'(x) +(k*p)(x+1)

Ableitungsregel und Def. von k*p geben

=k*p'(x) + k*p(x+1) = k*(p'(x) + p(x+1)) = [k*F(p)](x)

Für die Matrix berechne die Bilder der Basisvektoren.

Comments

Sry tut mir Leid für die Frage, aber was genau sind den hier die Basisvektoren. Ich bliecke bei diesem Thema gar nicht durch, wäre sehr dankbar wenn sie mr bei der Aufgabe helfen könnten.

Vielen vielen Dank im Voraus

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Die monomialen Basisvektoren bei n=3 sind

1, x, x^2 , x^3 .

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Erstmals vielen Dank für die Antwort. Muss ich danach noch etwas machen oder wars das dann mit der Teilaufgabe?

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Klingt vielleicht ein bisschen blöd, aber könnten Sie mir eventuell ein paar Rechenwege zeigen. Sitze nämlich seit Tagen frustriert an der Aufgabe, welche ich heute abgeben muss.

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Das gibt ja eine 4x4 Matrix. Z.B. für die 4. Spalte

berechne F(x^3) = \( =(x^3)^{\prime}+(x+1)^3 \)

\( =3x^2+x^3 + 3x^2 + 3x +1 \)

\( =x^3 + 6x^2 + 3x +1 \)

geordnet in der Reihenfolge der Basisvektoren

\( =1+3x++6x^2 + 1x^3  \)

Und die Faktoren bilden die Spalte der Matrix, also

sieht die so aus:

\(  \begin{pmatrix} ?&?&? & 1 \\ ?&?&? &3\\ ?&?&? &6\\ ?&?&? &1 \end{pmatrix}\)

Mit den Bildern der anderen Basisvektoren bestimmst du die

anderen Spalten.