Wie kann man hier den Grenzwert n → inf bestimmen?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich hier den Grenzwert n-->inf bestimmen?

\( a_{n}=n \sin (1 / n) \)

Problem/Ansatz:

Ich bekomme 0 * inf raus und mit l'hospital komme ich nicht weiter.

Answer 1

Du schreibst

\(n\sin \frac 1n = \frac{\sin \frac 1n}{\frac 1n}\)

Beachte, dass \(\lim_{n\to 0}\frac 1n=0\).

Wende also zum Beispiel den Grenzwert \(\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}x = 1\) an oder zeige diesen Grenzwert schnell per L'Hospital.

Answer 2

Hallo :-)

Eine Möglichkeit wäre, die folgende Abschätzung vom Sinus zu verwenden:

$$ t-\frac{1}{6}\cdot t^3\leq \sin(t)\leq t,\quad t\in \R_{\geq 0} $$

Auf deine Aufgabe übertragen bekommt man damit:

$$ 1-\frac{1}{6\cdot n^2}=n\cdot \frac{1}{n}-\frac{1}{6}\cdot n\cdot \frac{1}{n^3}=n\cdot \left (\frac{1}{n}-\frac{1}{6}\cdot \left (\frac{1}{n}\right)^3\right)\leq n\cdot \sin\left (\frac{1}{n}\right) \leq n\cdot \frac{1}{n}=1$$

Wegen \(\lim\limits_{n\to \infty} \left (1-\frac{1}{6\cdot n^2} \right)=1=\lim\limits_{n\to \infty} 1 \) folgt nach dem Sandwich-Prinzip die Gleichheit \(\lim\limits_{n\to \infty} n\cdot \sin\left (\frac{1}{n} \right)=1\).