Summenwert bzw. Grenzwert bei "rekursivem Produkt"

Question

Aufgabe:

Für den Summenwert folgender Reihe soll ein expliziter Ausdruck gefunden werden.

Problem/Ansatz:

Für die Reihe

\( A(x) = \dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{8}x^{4}+\dfrac{3}{48}x^{6}+\dfrac{15}{384}x^{8}+\dfrac{105}{3840}x^{10}+...\)

möchte ich die Reihensumme für ein beliebiges 0 < x < 1 berechnen.
Die Reihe konvergiert für |x| < 1 .

Auf den ersten Blick handelt es sich wohl um keine geometrische oder eine ähnliche bekannte Reihe.

Nach mehrfachem Ausklammern lässt sich interessanterweise das Bildungsgesetz für die Reihe wie folgt erkennen:

\( A(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} \cdot (1+\dfrac{1}{4}x^{2} \cdot (1+\dfrac{3}{6}x^{2} \cdot (1+\dfrac{5}{8}x^{2} \cdot (1+\dfrac{7}{10}x^{2} \cdot 1+ ... )))) \)

Die Zähler der Koeffizienten von \( x^{2} \) sind ungerade Zahlen in aufsteigender Folge, die dazugehörigen Nenner der Koeffizienten gerade Zahlen in aufsteigender Folge, also man setzt für den Zähler (2n-1) und für den Nenner 2(n+1).

Es ist also ein geschachtelter Klammerausdruck, sozusagen ein rekursives Produkt.
Das Ganze sieht fast aus wie ein "umgekehrter" Kettenbruch. :-)

Meine Frage ist nun folgende:
Lässt sich aus dieser Konstruktion eine explizite Formel für den Reihenwert erstellen, etwa so wie bei der geometrischen Reihe?

Comments

Hast du denn mal eine Bildungsvorschrift für die Koeffizienten?
Sonst ist doch gar nicht klar, wie die Reihe weitergeht.

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Die gleiche Frage hast du kürzlich schon mal hier gestellt und auch eine Antwort erhalten.
Die lautet \(\,\underline{\underline{\large A(x)=1-\sqrt{1-x^2}}}\).

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Ja, das stimmt.

Aber leider sind die Antworten meist recht dünn und da muss ich das leider noch einmal versuchen.

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Die Frage ist eigentlich folgende:
Lässt sich aus dieser Konstruktion eine explizite Formel für den Reihenwert erstellen, etwa so wie bei der geometrischen Reihe?

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Möglicherweise verstehe ich die Frage nicht richtig. Ist denn \(\,A(x)=1-\sqrt{1-x^2}\,\) nicht explizit genug?

Answer 1

\(A(x) = \dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{1}{8}x^{4}+\dfrac{3}{48}x^{6}+\dfrac{15}{384}x^{8}+\dfrac{105}{3840}x^{10}+...\)

Der n-te Summand hat im Zähler des Koeffizienten das Produkt der ersten n-1 ungeraden Zahlen und im Nenner das Produkt der ersten n geraden Zahlen. Der Exponent von x ist im n-ten Summanden die n-te gerade Zahl.

Answer 2

Laufindex

1;2;3;4;5... → k

Exponenten:

2;4;6;8;10... → 2k

Zähler:

1;1;3;15;105 → z(k)

k=5: 105=1•3•5•7=1•2•3•4•5•6•7/(2³•(1•2•3))

k=4: 15=1•3•5=1•2•3•4•5/(2²•(1•2))

k=3: 3=1•3=1•2•3/(2^1•(1))

Also z(k) = ... (Irgendwas mit Fakultäten)

evtl. (2k-3)!/(2^(k-2)*(k-2)!) für k≥3

https://oeis.org/A001147

--> (2k-3)!!

Nenner:

2;8;48;384;3840 → n(k)

k=5:

2•4•6•8•10 = 2^5 • 5! =  3840

Also n(k)=2^k •k!

:-)

Mit viel Herumprobieren:

(2k-3)!! / (2^k *k!) * x^(2k) für k=1,2,3,4,5

liefert

\( \left\{\frac{x^{2}}{2}, \frac{x^{4}}{8}, \frac{x^{6}}{16}=\frac{3x^6}{48},\frac{5 x^{8}}{128}=\frac{15x^8}{384}, \frac{7 x^{10}}{256}=\frac{105x^{10}}{3840}\right\} \)

Also $$\boxed{A(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(2k-3)!!}{2^k k!} \cdot x^{2k}}$$

Comments

Danke für die ausführliche Antwort und die viele Mühe!

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Die Frage ist eigentlich folgende:
Lässt sich aus dieser wiederholten Ausklammer-Konstruktion eine explizite Formel für den Reihenwert erstellen, etwa so wie bei der geometrischen Reihe?

\( A(x) = \dfrac{1}{2}x^{2} \cdot (1+\dfrac{1}{4}x^{2} \cdot (1+\dfrac{3}{6}x^{2} \cdot (1+\dfrac{5}{8}x^{2} \cdot (1+\dfrac{7}{10}x^{2} \cdot 1+ ... )))) \)

Ich weiss noch nicht mal, wie sowas mathematisch genau genannt wird. Für den Kettenbruch gibt es ja den Namen, Ausklammern ist zu allgemein und Faktorisierung ist zwar so ähnlich aber doch ganz anders.

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