Wieso lässt sich das Ableitungsgesetzt für Potenzen hier nicht anwenden?

Question

Ich habe e^2x umgeschrieben. Die Ableitung klappt hier aber scheinbar nicht mit der Potenzregel. Mit der Ableitung für Exponentialfunktionen schon. Wieso?

In der Definition der Potenzregel habe ich nichts gefunden im Sinne von a darf kein Potenz sein oder als diese dargestellt werden.

\( \begin{aligned} f(x) & =e^{2 x}=\left(e^{2}\right)^{x}=a^{x} \\ f'(x) & =\ln e^{2} \cdot e^{2 x} \\ & =2 \cdot e^{2 x} \\ f(x) & =e^{2 x}=\left(e^{x}\right)^{2}=a^{2} \\ f^{\prime}(x) & =2 \cdot e^{x}\end{aligned} \)

Comments

Dein Fehler bei der 2. Rechnung ist, dass Du nach der Kettenregel ableiten musst. Die innere Ableitung liefert einen weiteren Faktot e^x

Answer 1

Aloha :)

Bei der Ableitung einer Potenz \((x^n\to nx^{n-1})\) variiert die Basis \(x\) und der Exponent \(n\) ist konstant.

Wenn du hingegen Potenzen der Form \(a^x\) hast, bei denen die Basis \(a\) konstant ist und der Exponent \(x\) variiert, kannst du dir überlegen, dass die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion ihre Wirkung gegenseitig aufheben und dann mit der Kettenregel ableiten:$$\left(a^x\right)'=\left(e^{\ln(a^x)}\right)'=\left(e^{x\ln(a)}\right)'=\underbrace{e^{x\ln(a)}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\ln(a)}_{\text{innere Abl.}}=a^x\cdot\ln(a)$$

In deinem Fall ist also:$$\left(e^{2x}\right)'=\left((e^2)^x\right)'=(e^2)^x\cdot\ln(e^2)=e^{2x}\cdot2$$

Comments

Super, dankeschön!

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Hallo, ich bereite jetzt gerade die Aufgabe schriftlich vor. Ist es nun aber nur durch Zufall das richtige Ergebnis bei der 1. Herangehensweise meinerseits, oder ist die 1. Herangehensweise auch allgemein gültig bei der Art von Aufgaben mit der Art von Term Struktur?

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Beide Vorgehensweisen von dir sind richtig. Bei deiner ersten Rechnung kannst du auch$$(a^x)'=a^x\cdot\ln(a)$$direkt anwenden. Bei deinem zweiten Rechnung hast du es mit der Kettenregel zu tun:$$(e^{2x})'=\left((e^x)^2\right)'=\underbrace{2(e^x)^1}_{=\text{äußere}}\cdot\underbrace{e^x}_{\text{=innere}}=2e^{2x}$$Du hattest nur die innere Ableitung vergessen.

Answer 2

Die Potenzregel ist für Potenzfunktionen, darum heißt sie so.

Eine Exponentialfuktion ist etwas anderes.