Die Formel, die du zur Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren u und v anwendest, lautet
\( \cos \varphi=\frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|} \)
Im Zähler steht das Skalarprodukt der beiden Vektoren, im Nenner das Produkt ihrer Längen.
Aufgelöst nach \(\varphi\) ergibt das
\( \varphi=\cos ^{-1}\left(\frac{\vec{u} \circ \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot|\vec{v}|}\right) \)
Rechnung für den Winkel auf der Seite AD:
\(\vec{u}=\begin{pmatrix} 2,5-5\\3-1\\0-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2,5\\2\\-1 \end{pmatrix}\\ \vec{v}=\begin{pmatrix} 2,5-5\\0-1\\3-1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2,5\\-1\\2 \end{pmatrix}\\\)
\( \alpha=\cos ^{-1}\bigg( \frac{\left(\begin{array}{c}-2,5 \\ 2 \\ -1\end{array}\right) \circ\left(\begin{array}{c}-2,5 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)}{\sqrt{(-2,5)^{2}+2^{2}+(-1)^{2}} \cdot \sqrt{(-2,5)^{2}+(-1)^{2}+2^{2}}} \bigg)\)
\(=\cos^{-1}\bigg(\frac{(-2,5)\cdot (-2,5)+2\cdot (-1)+(-1)\cdot 2}{\sqrt{11,25}\cdot \sqrt{11,25}}\bigg)\\ =\cos^{-1}\bigg(\frac{2,25}{11,25}\bigg)=78,46°\)
