Heronsatz und Seitenhalbierende

Question

Sagen wir ich hab ein Dreieck ABC und bilde die Seitenhalbierende vom Punkt A aus, die BC im Punkt P halbiert und so die Dreiecke ABP und ACP bildet. Diese Dreiecke müssten ja Flächengleich sein.

Die Dreiecke haben zwei Gleich lange Seiten, nämlich BP und CP (P liegt ja gleichweit von B und C entfernt) bzw. AP, welche bei beiden Dreiecken auftaucht.

Sei nun |BP| = |CP| = a ; |AP| = b ; |AB| = c ; |AC| = d und der Flächeninhalt von ABP bzw. ACP = A, dann gilt ja nach dem Heronsatz:

A = \( \sqrt{s*(s-a)*(s-b)*(s-c)} \)

und

A = \( \sqrt{s*(s-a)*(s-b)*(s-d)} \)

Das muss ja im allgemeinen Dreieck ABC gelten aber dann muss ja auch gelten, dass d und c gleich sind, da sonst nicht beide Gleichungen A ergeben können. Aber wenn d und c gleich sind, dann muss ABC ja gleichschenklig sein und das macht irgendwie keinen Sinn.

Warum ist das so, kann mit das bitte jemand erklären?

Answer 1

Das s im Dreieck ABP ist nicht das gleiche wie das s im Dreieck ACP.

Comments

Ups, ja da ist was dran. Danke sehr.

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aber wenn ich die jeweiligen s in der ersten Gleichung ausmultipliziere erhalte ich ja die Darstellung:

\( \sqrt{2a²b² + 2a²c² + 2c²b² - a⁴ - b⁴ - c⁴} \)

und das s in der zweiten Gleichung

\( \sqrt{2a²b² + 2a²d² + 2d²b² - a⁴ - b⁴ - d⁴} \)

Muss dann nicht trotzdem d und c gleich sein?

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Gleichsetzen und umformen ergibt

        \(-c^4+2b^2c^2+2a^2c^2=-d^4+2b^2d^2+2a^2d^2\).

Letztendlich geht es also darum, ob

        \(F(x,y,z) = 2x^2z^2 + 2y^2z^2 - z^4\)

für gleiche Werte von \(x\) und \(y\) und unterschiedlichen Werten von \(z\) den gleichen Funktionswert annehmen kann.

Lösen der Gleichung

        \(F(1, 2, z) = 1\)

ergibt die Lösungen

        \(z = \sqrt{5 + 2\sqrt 6}\)

und

    \(z = \sqrt{5 - 2\sqrt 6}\).