Partielle Integration von f(x)= e^x*cos(x)

Question

Hi,

wie sieht das hier aus? Ist das bei mir bis hier hin richtig?

 

∫e^x*cos(x)dx

∫e^x*cos(x)dx=[e^x*sin(x)]-∫e^x*sin(x)

=e^x*sin(x)+cos(x)

2.Partielle Integration:

∫e^x cos(x)dx

∫e^x*sin(x)dx=[e^x*(-cos(x))]-∫e^x*(-cos(x))

= e^x*(-cos(x))+sin(x)

 

Ich setze zusammen, was ich bisher habe:

 

∫e^x*cos(x)dx=[e^x*sin(x)]-∫e^x*sin(x)

Und für das zweite Integral habe ich:

[e^x*(-cos(x))]-∫e^x*(-cos(x))

Ersetze nun das hintere Integral:

∫e^x*cos(x)dx=[e^x*(sin(x))]-{[e^x*(-cos(x))]-∫e^x*(-cos(x)) |Minusklammer auflösen:

= [-e^x*(-sin(x))]+e^x(+cos(x))-∫e^x*(cos(x))

 

Jetzt habe ich eine Gleichung. Ich muss diese Gleichung nach dem Integral auflösen. Aber wie?

 

Stimmt der Weg bis hierhin? Bitte sagt ja! Ich habe das mal versucht.

Answer 1

∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) - ∫ e^x·SIN(x) dx

 

Ich betrachte jetzt erstmal nur das rechte Integral alleine

∫ e^x·SIN(x) dx = e^x·(-COS(x)) - ∫ e^x·(-COS(x)) dx

∫ e^x·SIN(x) dx = -e^x·COS(x) + ∫ e^x·COS(x) dx

 

Jetzt betrachte ich wieder das eigentliche Integral

∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) - (-e^x·COS(x) + ∫ e^x·COS(x) dx)

∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) + e^x·COS(x) - ∫ e^x·COS(x) dx

2·∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) + e^x·COS(x)

∫ e^x·COS(x) dx = 1/2·e^x·SIN(x) + 1/2·e^x·COS(x)

 

Comments

Hallo Mathecoach :)

Könntest du auch bitte mal sagen, ob meine Rechnung bis dort hin stimmt?

Und was hast du nach:

Jetzt betrachte ich wieder das eigentliche Integral

gemacht?

Ich kann das nicht nachvollziehen? Könntest du auch bitte in Zukunft bisschen Erklären, was du machst? D: Das wäre Super! Weil ich lerne das nur durchs Internet und Bücher Zuhause...ohne Lehrkraft :D

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Jetzt betrachte ich wieder das eigentliche Integral

∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) - ∫ e^x·SIN(x) dx

Hier ersetze ich jetzt einfach nur das Integral auf der rechten Seite durch dn Term den ich in der getrennten überlegung gefunden habe.

∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) - (-e^x·COS(x) + ∫ e^x·COS(x) dx)

In der Klammer steht jetzt das was ich mir getrennt überlegt hatte.

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Ahso ok, aber schon wieder taucht da diese 2 auf??? Ist sie da IMMER?

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Die ersten beiden Zeilen bei dir stimmen ja noch

∫e^x*cos(x)dx

∫e^x*cos(x)dx=[e^x*sin(x)]-∫e^x*sin(x)

Doch was kommt jetzt in der 3. Zeile. Das kann man schon überhaupt nicht mehr nachvollziehen.

=e^x*sin(x)+cos(x)

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Die zei taucht immer beim Zusammenfassen auf wenn du rechts ein a hast und links - a. Das habe ich dir ja versucht verständlich zu machen.

Und wenn du meine Übungsaufgabe mal nachvollzogen hättest dann wüsstest du das dort nicht nur 2 stehen können sondern auch 5.

Dafür war meine Übungsaufgabe ja da.

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AAAAAAAAAHhhhh stimmt, weil wir haben ja:

∫.......=...... -∫ |+∫

2*∫.....=.... ger?

Danke danke adnkeee

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@Mathecoach: Liege ich wieder falsch? Du antwortest nicht :)

Ich glaube das war wieder falsch und du hast die Hoffnung aufgegeben oder

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nein das war völlig richtig.

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AHsoo ok gut :)

Ich dacht schon :) Huhhh

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Kannst du denn jetzt meine obige Schreibweise nachvollziehen ?

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Hallo Mathecoach :)

Ja, also ich habe Ideen, aber ich weiß nicht, ob sie stimmen...

∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) - (-e^x·COS(x) + ∫ e^x·COS(x) dx) |Minusklam. aufgelöst (Vorzeichen umdrehen

∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) + e^x·COS(x) - ∫ e^x·COS(x) dx |+∫

2·∫ e^x·COS(x) dx = e^x·SIN(x) + e^x·COS(x) |:2

∫ e^x·COS(x) dx = 1/2·e^x·SIN(x) + 1/2·e^x·COS(x)  |Endergebnis?

 

Stimmt's?

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Ja. Korrekt. Sollte doch eigentlich nachvollziehbar sein, wenn man sich bemüht oder nicht ?

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jaaaaaaaaaaaa :)

Ja, sehe ich genau so :)

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Ah Mathecoach ich habe nochmal eine Frage:

Wann muss ich die Gleichung immer nach dem Integral auflösen? Also nur wenn die e-Funktion dabei ist? Weil bei ∫x cos x dx muss man das ja nicht :)

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polynome n grades können einfach durch differenzieren abgeräumt werden. solange der andere ausdruck nicht viel schwieriger wird.

Als wahrer Mathematiker benutzt man selten in der höheren Mathematik irgendwelche Kochrezepte. Wenn eine e-Funktion dann das Integral zusammenfassen.

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Ahso ok :)

Aber mit SIN² kann ich das nicht. Ich will nichts falsches machen....

aber ich würde so anfangen:

u=sin²(x)

u'-cos²(x)

v=x

v'1

und dann in die Formel der Partiellen Integration?

 

Nein, oder? Das ist falsch? Ich habe noch nie Trigonometrische Funktion mit einem Quadrat abgeleitet oder sonst was :O

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das war ein doofes beispiel von mir. vergiss es schnell wieder :)

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ok mach ich :)

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Ich finde das Beispiel toll.

$$ \int sin(x)*sin(x)dx=-cos(x)sin(x)-\int(-cos(x)cos(x)dx $$
Vereinfachen: \( cos^2(x)=1-sin^2(x)\)
$$ \int sin(x)*sin(x)dx=-cos(x)sin(x)+\int cos^2(x)dx $$
$$ \int sin(x)*sin(x)dx=-cos(x)sin(x)+\int 1-sin^2(x)dx $$
$$ \int sin(x)*sin(x)dx=-cos(x)sin(x)+\int 1dx-\int sin^2(x)dx $$
$$ 2\int sin(x)*sin(x)dx=-cos(x)sin(x)+\int 1dx$$
Rest sollte machbar sein.

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Hallo Gast,

Ich glaube, weil da SIN² hast du einfach SIN*SIN gemacht ger? Weil x² sind ja auch x*x=x²

Und was ist dann aber u und u' und v und v'? Das fällt mir immer noch ein bisschen schwer ... also welches was ist....

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Kettenregel:

$$ (u \cdot v)'=u \cdot v' + u' \cdot v

$$Integral:$$\int (u \cdot v)'=\int u \cdot v' + \int u' \cdot v$$

Vereinfachen:

$$u \cdot v=\int u \cdot v' + \int u' \cdot v$$

$$\int u \cdot v'=u \cdot v-\int u' \cdot v$$

In diesem Fall ist: u=sin(x) u'=cos(x) v'=sin(x) v=-cos(x)

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Na wenn du SIN * SIN hast ist es egal was du auf und was du ableitest. Im zweifel das erste Aufleiten damit das Minus schon am Anfang steht.

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@Sigma: Danke für deine Hilfe! Ich hab aber noch eine Frage: Wie kannst du so schreiben? Mit diesem Latex oder wie das auch heißt?

@Mathecoach: Dankee!!

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Ja mit dem LaTex. Das ist der beste Mathe-Schriftsatz den es gibt. Fast alle Profs arbeiten damit.

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Genau ich schreibe das mit $$ \bf{\LaTeX} $$ sprich "LaTech".

Sieht einfach schöner und übersichtlicher aus.

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Ok :) Damit will ich auch schreiben :)

Wie kann ich das machen? :) Ich habe gelesen dass man $ setzen muss :D

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hallo nochmal

ich hab einige fragen:

1) warum stehen in der 4 Zeile 2.Integralzeichen?

2) Und In diesem Fall ist: u=sin(x) u'=cos(x) v'=sin(x) v=-cos(x)

aber die partielle Integration heißt ja:

∫u'v'dx=[u*v]-∫u'*v

aber ihr habt in der 1.Zeile für [u=-cos(x) eingesetzt, obwol da sin(x) hingehört, oder?

 

Irgendwie bin ich jetzt komplett raus aus dem Konzept ...... vielleicht mache ich ja ein Fehler ...ah keine AHnung