Beweisen Sie, dass A · (B + B′) = A · B + A · B gilt.

Question

Beweisen Sie: Es sei K ein Körper und k, l, m ∈ N. dann gilt für A ∈ Mat(k, l, K), B, B′ ∈ Mat(l, m, K) :

A · (B + B′) = A · B + A · B

Kann mir da evtl. jemand helfen?

Answer 1

Das \( i,j\)-te Element von \( A(B + B') \) berechnet sich wie folgt

$$ A ( B + B' )_{i,j} = \sum_{k=1}^n A_{i,k} \ ( B_{k,j} + B'_{k,j} ) = \sum_{k=1}^n ( A_{i,k} B_{k,j} + A_{i,k} B'_{k,j} ) = (AB)_{i,j} + (AB')_{i,j}$$