Ist K eine angeordneter Körper bezüglich (a, b) < (a′, b′) :⇔ (a < a′) ∧ (b < b′)

Question

Hallo zusammen, ich habe gerade Probleme an der folgenden Aufgabe:

K := Q × Q.

mit der folgenden Addition + und Multiplikation ·,

(a, b) + (a′, b′) := (a + a′, b + b'),

(a, b) · (a′, b′) := (aa′ + 2bb′, ab′ + ba′),

Aufgabe: Ist K eine angeordneter Körper bezüglich (a, b) < (a′, b′) :⇔ (a < a′) ∧ (b < b′)?

für (a, b),(a′, b′) ∈ K.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist jetzt, dass wir noch keine Gleichungen anhand von Axiomen bewiesen haben und ich nicht wirklich weiß wie ich da anfangen kann und wie ich was einsetze?

LG

Answer 1

Hallo,

nur als Takeaway: Das ist eine Verschärfung der sogenannten "lexikographischen Ordnung", die du da gegeben hast. Du musst stumpf die Ordnungsaxiome durchgehen. Das ist erstmal Einsetzarbeit. Du musst dann für das Eingesetzte noch begründen, warum z. B. die jeweilige Ungleichung gilt oder nicht gilt.

Answer 2

K ist bezüglich der angegebenen Ordnung kein angeordneter Körper wegen fehlender Trichotomie.