(a,b)∼(a′,b′):⇔ab′ −a′b=0 eine Äquivalenzrelation definiert wird, wobei (a, b), (a′, b′) ∈ Z × (Z \ {0}).

Question

Aufgabe:

Sei Z×(Z\{0}) das in der Vorlesung definierte kartesische Produkt.

Zeige, dass durch
(a,b)∼(a′,b′):⇔ab′ −a′b=0
eine Äquivalenzrelation definiert wird, wobei (a, b), (a′, b′) ∈ Z × (Z \ {0}).

Problem/Ansatz:

wie kann ich das beweisen?

Answer 1

Indem du beweist, dass ∼ symmetrisch, reflexiv und transitiv ist.

Answer 2

z.B. reflexiv so:

Du musst zeigen, dass für alle (a, b)∈ Z × (Z \ {0}) gilt (a,b)~(a,b)  .

Also prüfen ob immer gilt a*b-a*b=0. Das ist wohl klar, also

ist die Rel. reflexiv.

Für "symmetrisch" prüfe ob immer gilt

(a,b)~(a',b') ==>   (a',b')~(a,b)