Bestimmen Sie eine Matrix W ∈ {GL}(2, ℝ) , sodass W^{-1} A W für

Question

Aufgabe:

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Aufgabe 2. Bestimmen Sie eine Matrix \( W \in \mathrm{GL}(2, \mathbb{R}) \), sodass \( W^{-1} A W \) für
\( A=\left(\begin{array}{ll} 7 & 2 \\ 3 & 2 \end{array}\right) \in \operatorname{Mat}(2 ; \mathbb{R}) \)
eine Diagonalmatrix ist.

Problem/Ansatz:

Welches Muster muss man hier anwenden?

Durch bloßes rumraten ist es hier nicht getan aber ich komme nicht drauf :D

Answer 1

Eigenwerte bestimmen und die zugehörige Transformationsmatrix.

Also erstmal det(A-x*E)=0 ausrechnen, gibt x=1 oder x=8.

Das sind die Eigenwerte.

Dann die Eigenräume bestimmen, also

A-1*E=0 lösen, das gibt Lösungen der Form \( \left(\begin{array}{ll} t \\ -3t \end{array}\right) \)

Also wäre \( \left(\begin{array}{ll} -1 \\ 3 \end{array}\right) \) ein geeigneter Basisvektor.

Entsprechend bekomme ich bei A-8*E=0 dann \( \left(\begin{array}{ll} 2\\ 1 \end{array}\right) \)

Die beiden als Spalten der Matrix W gibt \(W= \left(\begin{array}{ll} -1 & 2\\ 3 &1 \end{array}\right) \)

und damit \( W^{-1} A W =\left(\begin{array}{ll} 1& 0\\ 0 &8 \end{array}\right) \).

Comments

Vielen Dank!!!!!!!!!