Folgendes ist zu zeigen:
\(Y = f(U_1) + f(U_2)\) und \(f(U_1) \cap f(U_2)=\{0\}\).
f ist Isomorphismus, d.h., f ist linear und eine Bijektion.
f linear \(\Rightarrow f(U_1), \; f(U_2)\) sind Unterräume von Y.
f ist als Bijektion insbesondere surjektiv:
\(\Rightarrow \boxed{Y = f(X) = f(U_1 + U_2) = f(U_1) + f(U_2) \quad (1)}\).
Sei nun \( y\in f(U_1) \cap f(U_2)\) :
\( \Rightarrow y=f(u_1) = f(u_2)\) mit \(u_1 \in U_1\) und \(u_2 \in U_2\)
f ist als Bijektion insbesondere injektiv:
\(\Rightarrow u_1 = u_2\). Setze also \(u:= u_1 = u_2\).
\(\Rightarrow u \in U_1\cap U_2 \stackrel{X= U_1 \oplus U_2}{\Rightarrow} u = 0 \Rightarrow y= 0\)
\(\Rightarrow\boxed{f(U_1) \cap f(U_2)=\{0\} \quad (2)}\)
\( (1) ,(2) \Rightarrow \boxed{Y = f(U_1) \oplus f(U_2)}\)
