Bestimmen Sie die Lösung des homogenen Problems:

Question

Oszillator - überdämpft

Gegeben das folgende Anfangswertproblem
\( \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}+4\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right)+3 y=f(t), \quad y(0)=-2, \quad \dot{y}(0)=2 \)
1. Bestimmen Sie die Lösung des homogenen Problems:
\( \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}+4\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right)+3 y=0, \quad y(0)=-2, \quad \dot{y}(0)=2 \)
\( y(t)= \)
2. Bestimmen Sie die Lösung für \( f(t)=\cos (t) \) :
\( \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} t^{2}}+4\left(\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}\right)+3 y=\cos (t), \quad y(0)=-2, \quad \dot{y}(0)=2 \)
\( y(t)= \)

Aufgabe:

Könnte mir hier jmd. weiterhelfen?

Danke!

Answer 1

Hallo,

..................................

2)

y_h= C₁ e^(-t) +C₂ e^(-3t)

y_p= A cos(t) +B sin(t)

y_p'= -A sin(t) +B cos(t)

y_p'' =-A cos(t) -B sin(t)

->in die DGL einsetzen und Koeffizientenvergleich durchführen und vereinfachen:

2A cos(t) +4B cos(t) -4A sin(t) +2B sin(t)=cos(t)

Koeffizientenvergleich:

cos(t): 2A+4B=1

sin(t): -4A+2B=0

A=1/10

B=1/5

\( y_{p}(t)=\frac{\cos (t)}{10}+\frac{\sin (t)}{5} \)

y=y_h+y_p

\( y(t)=\frac{\cos (t)}{10}+\frac{\sin (t)}{5}+c_{1} e^{-3 t}+c_{2} e^{-t} \)

Mit den Anfangsbedingungen:

\( y(t)=\frac{1}{20}\left(-45 e^{-t}+3 e^{-3 t}+2 \cos (t)+4 \sin (t)\right) \)

Comments

Dankeschön :)

Ich habe die Lösungen eingegeben, aber mir wird die erste Lösung als Falsch angezeigt:/ Könnten Sie mir da evtl. nochmal helfen?

---

Warum machst Du nicht selbst eben schnell die Probe??

---

Die Lösung ist :

y= -2 e^(-t) , ich hatte versehentlich für t ein x geschrieben.

---

Habe ich probiert, aber ich komme selber leider nicht darauf...

---

Ah ja, das hatte ich auch übersehen

Vielen Dank nochmal!

Answer 2

Hallo

homogene Lösung mit Ansatz y=e^^λt dann y=C1e^λ1t+C2e^λ2t bzw e funktion durch Realteil und sin und cos ersetzen.

dann Ansatz nach Art der rechten Seite also A*sin(t)+B*cos(t)

Am Ende die Anfangsbed. einsetzen um die Ci zu bestimmen.

Gruß lul