Lösung des anfangswert problems mit y(1)

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems dy/dx=−y/x+1/x^2+2,y(1)=5

Problem/Ansatz:

ich weiß nicht wie ich das mit y(1) ausrechne

Answer 1

Löse die Differentialgleichung.

Kümmer dich danch um das y(1).

Answer 2

Hallo,

\( \frac{d y}{d x}=\frac{-y}{x}+\frac{1}{x^{2}}+2 \)

Lösung via Variation der Konstanten:

\( \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{1}{x^{2}}+2 \)

1.)Löse zuerst die homogene Gleichung:

dy/dx +y/x=0 via Trennung der Variablen

dy/dx= -y/x

dy/y= - dx/x

ln|y|=-ln|x|+C |e hoch

|y|= e^(-ln|x|+C)

y=C₁/x

2. Setze C1=C(x)

yh=C1/x

yp=C(x)/x

yp'= C'(x) *1/x -C(x) *1/x^2

3. Setze yp und yp' in die DGL ein und vereinfache, dabei muß C(x) sich aufheben:

C'(x)/x= 1/x^2+2

C'(x)= 1/x + 2x

C(x)=ln|x| +x^2

4. yp=C(x)/x =ln|x| /x +x

5, y=yh+yp =C₁/x +ln|x| /x +x

Lösung :y=C₁/x +x +ln|x|/x

Hier setzt Du die AWB ein :(y(1)=5)

5=C1/1 +1 +ln(1)/1 ->C1=4

--->

Lösung:y=4/x +x +ln|x|/x