Hallo,
\( \frac{d y}{d x}=\frac{-y}{x}+\frac{1}{x^{2}}+2 \)
Lösung via Variation der Konstanten:
\( \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{1}{x^{2}}+2 \)
1.)Löse zuerst die homogene Gleichung:
dy/dx +y/x=0 via Trennung der Variablen
dy/dx= -y/x
dy/y= - dx/x
ln|y|=-ln|x|+C |e hoch
|y|= e^(-ln|x|+C)
y=C1/x
2. Setze C1=C(x)
yh=C1/x
yp=C(x)/x
yp'= C'(x) *1/x -C(x) *1/x^2
3. Setze yp und yp' in die DGL ein und vereinfache, dabei muß C(x) sich aufheben:
C'(x)/x= 1/x^2+2
C'(x)= 1/x + 2x
C(x)=ln|x| +x^2
4. yp=C(x)/x =ln|x| /x +x
5, y=yh+yp =C1/x +ln|x| /x +x
Lösung :y=C1/x +x +ln|x|/x
Hier setzt Du die AWB ein :(y(1)=5)
5=C1/1 +1 +ln(1)/1 ->C1=4
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Lösung:y=4/x +x +ln|x|/x