Bestimmen sie den maximalen Definitionsbereich \mathbb{D} von f

Question

Aufgabe: Gegeben ist die Funktion \( f \) in zwei Veränderlichen mit

\(f(x, y)=\sqrt{-x^{2}-y^{2}-4y+12} . \)

Bestimmen sie den maximalen Definitionsbereich \( \mathbb{D} \) von \( f \)

Problem/Ansatz: Kann mir jemand bitte Lösung + Lösungsweg erklären. Ich habe momentan leider keinen Ansatz wie ich anfangen soll. Danke!.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$f(x;y)=\sqrt{-x^2-y^2-4y\pink{+12}}=\sqrt{-x^2+(-y^2-4y\pink{-4})\pink{+16}}$$$$\phantom{f(x;y)}=\sqrt{(16-x^2-(y^2+4y+4)}=\sqrt{16-x^2-(y+2)^2}$$Damit die Wurzelfunktion definiert ist, muss also gelten:$$16-x^2-(y+2)^2\ge0\quad\text{bzw.}\quad x^2+(y+2)^2\le4^2$$Das ist ein Kreis mit Mittelpunkt \(M(0|-2)\) und Radius \(r=4\).

Als Lösung kannst du schreiben:\(\quad\mathbb L=\{(x;y)\in\mathbb R^2\,\big|x^2+(y+2)^2\le4^2\}\)

Answer 2

Man muss alle Paare (x,y) ausschließen, für welche der Radikand negativ ist, oder anders formuliert:

     x² + y²+ 4 y - 12 > 0    (da ist f(x,y) nicht definiert)

Dies kann man durch Umformen (Tipp: quadratische Ergänzung) so schreiben, dass sichtbar wird, dass das Lösungsgebiet (in welchem f definiert ist) das Innengebiet eines gewissen Kreises (inklusive Rand) in der x-y-Ebene sein muss. Natürlich sind dann dessen Mittelpunkt und Radius anzugeben.