Äquivalenz zeigen und Eigenschaften beweisen

Question

(b) Sei \( V \) ein \( \mathbb{F} \)-Vektorraum und \( T \in \mathcal{L}(V, V) \). Beweisen Sie:
i) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
- \( \operatorname{null}(T) \cap \operatorname{range}(T)=\{0\} \)
- \( \operatorname{null}(T)=\operatorname{null}(T \circ T) \)
ii) Besitzt \( T \) die Eigenschaft \( T \circ T=T \), so gilt:
\(\operatorname{null}(T) \oplus \operatorname{range}(T)=V\)
(Hinweis: Jeder Vektor \( v \in V \) lässt sich schreiben als \( v=(v-T(v))+T(v) \).)

Answer 1

Zu (i): Ich schreiben \(N(T),R(T)\) für Kern und Bild.

Es gilt immer: \(N(T) \sub N(T \circ T)\); denn wenn \(Tx=0\), dann auch \(T \circ T(x)=T(Tx)=T(0)=0\).

Es gelte \(N(T) \cap R(T)=\{0\} \).

Es sei \(x \in N(T \circ T)\), also \(T(Tx)=0\). Damit ist \(Tx \in R(T)\) und \(Tx \in N(T)\). Es folgt \(Tx=0\), also \(x \in N(T)\), Damit ist gezeigt: \(N(T \circ T) \sub N(T)\). (Di Gleichheit folgt dann aus der Vorbemerkung.

Es gelte \(N(T \circ T) \sub N(T)\).

Es sei \(x \in N(T) \cap R(T)\). Dann ist \(Tx=0\) und es existiert ein \(y \in V\) mit \(x=Ty\). Daraus folgt, dass \(T \circ T(y)=Tx=0\) ist, also \(y \in N(T \circ T)\). Nach Voraussetzung ist dann \(0=Ty=x\), wie behauptet.