Differenzierbarkeit im geschlossenen/offenen Intervall und Existenz

Question

Aufgabe:

Seien a,b ∈ ℝ sodass a<b , f∶ [a,b ] → ℝ. Diese Funktion ist in [a,b ] 2 mal differenzierbar und in (a, b) 3 mal differenzierbar.

Zeigen Sie die Existenz eines c ∈ (a, b), sodass man das 3. Taylorpolynom aufstellen kann.

Problem/Ansatz:

Ja meine lieben Mathematiker, folgendes Problem. Ich weiß nicht wie ich die Existenz dieses c`s beweisen soll.

Mir fällt es leider ziemlich schwer mit diesen Beweisen.

Ich weiß, dass die Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b ] differenzierbar ist. Wobei f bei a linksseitig und bei b rechtsseitig differenzierbar ist. Habe ich nun das offene Intervall (a, b) so entfällt diese rechts/linksseitige Differenzierbarkeit. Ich bin leider echt ratlos. Ich weiß auch nicht mit welchem Satz ich weiterkomme, irgendwie bringt mich keiner ans Ziel. Ich bitte um Tipps!

Answer 1

Um das 3. Taylorpolynom (also bis zur Ordnung 3) aufzustellen, benötigt man die Ableitung von f bis zum Grad 3. Die wäre für alle Punkte aus (a,b) vorhanden?

Also: Die Aufgabe macht für mich keinen Sinn