stetig, gleichmäßig stetig oder lipschitzstetig?

Question

Aufgabe:

e) Ist die Funktion
\( \begin{aligned} h: \mathbb{R}^{+} & \longrightarrow \mathbb{R} \\ x & \mapsto \frac{x^{2}-2}{x+1} \end{aligned} \)
stetig, gleichmäßig stetig oder lipschitzstetig?

Answer 1

Es gilt \(h'(x)=1+\frac{1}{(x+1)^2}\) und daher

für alle \(x\in \mathbb{R}_+\): \(0< h'(x)<2\).

\(L=2\) ist eine Lipschitz-Konstante, da aus dem Mittelwertsatz der

Differentialrechnung folgt:

\(|h(x)-h(y)|\leq 2\cdot |x-y|\).