Hallo,
Das sind die Stirling Zahlen erster Art (siehe A000914). Für die Stirling Zahlen erster Art$$\left[\begin{array}{} n\\ k \end{array}\right] = s_{n.k}$$gilt die Rekursion$$ \left[\begin{array}{} n+1\\ k \end{array}\right] = \left[\begin{array}{} n\\ k-1 \end{array}\right] + n\cdot \left[\begin{array}{} n\\ k \end{array}\right]\\\left[\begin{array}{} n\\ n \end{array}\right]=1, \quad \left[\begin{array}{} n\\ k \end{array}\right]=0\space \text{für}\space k=0 \lor n \lt k$$Es bietet sich hier an, vorher zu zeigen, dass es sich bei \(s_{n,n-1}\) um die Dreieckszahlen handelt:$$\left[\begin{array}{} n\\ n-1 \end{array}\right] = \triangle_{n-1} = \frac{n}{2}(n-1)\quad\quad n \ge 2$$das ist recht einfach per Induktivem Beweis zu machen. Falls Du da Fragen hast, so melde Dich bitte.
Damit geht man dann in den Induktiven Beweis für den Term aus der Frage. Der Induktionsanfang für \(n=2\) ist $$\left[\begin{array}{} 2\\ 0 \end{array}\right] = \frac{2(2-1)(2-2)(3\cdot 2-1)}{24}=0\space \checkmark $$und der Induktionsschritt:$$\begin{aligned} \left[\begin{array}{} n+1\\ n-1 \end{array}\right] &= \left[\begin{array}{} n\\ n-2 \end{array}\right] + n\cdot \left[\begin{array}{} n\\ n-1 \end{array}\right] \\ &= \frac{n(n-1)(n-2)(3n-1)}{24} + \frac{n^2}{2}(n-1) \\ &= \frac{n(n-1)}{24}\left( (n-2)(3n-1)+ 12n\right) \\ &= \frac{n(n-1)}{24}\left( 3n^2 -7n + 2+ 12n\right) \\ &= \frac{n(n-1)}{24}\left( 3n^2 +3n +2n + 2\right) \\ &= \frac{n(n-1)}{24}\left( 3n(n + 1) + 2(n+1)\right) \\ &= \frac{(n+1)n(n-1)(3n+2)}{24}\\&\text{q.e.d.} \end{aligned}$$
