Standardabweichung von X2, wenn X2N(μ2, σ22 )

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Standardabweichung von X₂, wenn X₂N(μ₂, σ₂² )-verteilt ist mit μ₂ = 10 und es gilt P(-5 ≤ X₂ ≤ 25)=0,8664?

Problem/Ansatz:

Wie macht man das?

Answer 1

Ich lass mal den Index 2 weg.

Grundsätzlich gilt:
\(X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow Z= \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)

Schonmal die Werte einsetzen ergibt:
\(P(-\frac{15}{\sigma} \leq Z \leq \frac{15}{\sigma}) \stackrel{!}{=} 0.8664\)

Nun hängt es davon ab, ob du eine Tabelle benutzen musst oder einen vernünftigen Taschenrechner etc.:

Fakt ist, dass für \(Z\sim N(0,1)\) gilt:

\(P(-1.5 \leq Z \leq 1.5) \approx 0.8664\)

Damit ergibt sich die Gleichung:

\(\frac{15}{\sigma} = 1.5 \Rightarrow \boxed{\sigma = 10}\)

Answer 2

Wenn man es genauer rechnen möchte, gilt

p = 0,8664 bei σ = 9,9996293269551327515438...

oder

p = 0,86638559746228386799101... bei σ = 10