Berechne die Ableitung von f(x) mit Produktregel !

Question

Aufgabe:

Berechne die Ableitung von f(x) !

f(x) = 2x*e^ 2-x

Problem/Ansatz:

Hey Leute, ich habe ein Problem.

Ich kann diese Aufgabe nicht korrekt lösen...

Die Lösung die wir in der Schule erhalten haben ist:

f'(x) = (2-2x) * e ^ 2-x

Und die Ableitung lautet :

u(x) = 2x    ---> u'(x) = 2                       (Verstehe ich)

v(x) = e^ 2-x → v'(x) = e^ 2-x * (-1)       (Verstehe ich nicht)

Wieso muss ich bei der v(x) Ableitung *(-1) rechnen?

Wäre echt korrekt, wenn ihr mir das erklären könntet, und dann noch Schritt-für-Schritt die Lösung mit Erklärungen beschreibt.

Ich weiß, ich erwarte zu viel, aber ich hoffe jemand nimmt dich die Zeit.

Danke :)

Comments

Hier mit Weg:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 1

u=2x  u'=2

v=e^2-x v'=-1e^2-x.

bei e^2-x hast du Klammern vergessen.

u·v'=-2x·e^2-x u'·v=2·e^2-x.

Answer 2

Aloha :)

$$f(x)=\underbrace{2x}_{=u(x)}\cdot\underbrace{e^{2-x}}_{=v(x)}$$Zur Anwendung der Produktregel brauchst du die Ableitungen von \(u(x)\) und \(v(x)\).

Die Ableitung von \(u(x)\) kannst du direkt hinschreiben:$$u'(x)=2$$

Zur Ableitung von \(v(x)\) benötigst du die Kettenregel ("äußere mal innere Ableitung"):$$v'(x)=\left(e^{\pink{2-x}}\right)'=\underbrace{e^{\pink{2-x}}}_{\text{äußere Abl.}}\cdot\underbrace{\left(\pink{2-x}\right)'}_{\text{innere Abl.}}=e^{\pink{2-x}}\cdot(\pink{-1})=-e^{2-x}$$Im ersten Schritt behandelst du die innere Funktion \((\pink{2-x})\) als deine Variable \(x\) nach der du ableiten möchtest. Da die Ableitung von \(e^x\) gleich \(e^x\) ist, lautet die äußere Ableitung von \(e^{\pink{2-x}}\) auch \(e^{\pink{2-x}}\). Danach musst du im zweiten Schritt noch mit der Ableitung der inneren Funktion \((\pink{2-x})\) multiplizieren. Die Ableitung davon ist \((\pink{-1})\).

Damit hast du nun alles, was du für die Ableitung von \(f(x)\) brauchst:$$f'(x)=\underbrace{2}_{=u'}\cdot\underbrace{\left(e^{2-x}\right)}_{=v}+\underbrace{2x}_{=u}\cdot\underbrace{\left(-e^{2-x}\right)}_{=v'}=(2-2x)\,e^{2-x}$$