Wie kann man diese Funktion in eine geometrische / Potenzreihe umwandeln?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich diese Funktion in eine Geometrische/Potenz Reihe umwandeln?

\(\displaystyle x^{2} \ln (1+x) d x \)

Problem/Ansatz:

Habe überhaupt kein Plan. Ich muss diese Funktion irgendwie in diese Form bekommen:

\(\displaystyle \frac{1}{1-x}=\sum \limits_{k=0}^{\infty} x^{k} \)

Comments

Bitte das dx nicht beachten. Das steht da, weil ich erst die Funktion in eine geometrische Reihe umwandeln muss und dann das Integral der Reihe berechnen soll.

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Wie kann ich diese Funktion...

Das ist keine Funktion.

Wenn es nicht die Form <linke Seite> = <rechte Seite> hat, ist es keine Funktion. Eine Funktion ist eine Zuordnungsvorschrift.

Answer 1

Aloha :)$$f(x)=x^2\ln(1+x)=x^2\int\limits_{0}^x\frac{1}{1+y}\,dy=x^2\int\limits_0^x\frac{1}{1-(-y)}\,dy$$Für \(|y|<1\) ist der Integrand die Summe der unendlichen geometrischen Reihe. In diesem Konvergenzradius können wir Integration und Summation vertauschen:$$f(x)=x^2\int\limits_0^x\sum\limits_{n=0}^\infty (-y)^n\,dy=x^2\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\int\limits_0^x y^n\,dy=x^2\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\left[\frac{y^{n+1}}{n+1}\right]_{y=0}^x$$$$\phantom{f(x)}=x^2\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+1}}{n+1}$$Da \(x\) die obere Grenze der Integration über \(dy\) ist ist, muss \(|x|<1\) gelten, um die Forderung \(|y|<1\) einzuhalten. Damit sind wir fertig:$$f(x)=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+3}}{n+1}\quad;\quad|x|<1$$

Comments

Vielen Dank Tschakamumba, aber meine Lösung ist im Nenner etwas anders?

Text erkannt:

\( C+\sum \limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{n+3}}{n(n+3)}, R=1 \)

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Ich habe meine Lösung bei Wolfram verglichen:

Bei deiner Lösung gibt es gar keinen \(x^3\)-Term... Ohne Rechenweg kann ich nicht sagen, was das falsch gelaufen ist.

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Achso, das ist eigentlich die Lösung aus meinem Buch.

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Dann ist die Lösung aus deinem Buch falsch.

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Ich bin aber noch etwas verwirrt.

Text erkannt:

\( \int x^{2} \ln (1+x) d x \)

Muss man nicht am Ende Ihre Lösung noch einmal integrieren, damit die Reihe dem oben stehenden entspricht?

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Ja, wenn ein Integralzeichen davor steht, muss auf jeden Fall nochmal integriert werden. Aber in der ursprünglichen Frage fehlt das Integralzeichen.

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Text erkannt:

\( \int x^{2} \ln (1+x) d x \)

Wäre dann:

Text erkannt:

\( \frac{(-1)^{n} x^{n+4}}{(n+1)(n+4)}+C \)

Oder?

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Hier musst du vorsichtig sein, da scheint mir noch eine Indexverschiebung drin zu sein. Die Summe in meiner Rechnung beginnt bei \(n=0\). Die Summe in der Buchlösung beginnt bei \(n=1\).

Ich integriere mal das Ergebnis aus meiner Antwort und wir schauen, was nach der Indexverschiebung rauskommt. Die Integrationskonstante \(C\) spare ich mir:$$F(x)=\int f(x)\,dx=\int\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\,\frac{x^{n+3}}{n+1}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\int\frac{x^{n+3}}{n+1}\,dx$$$$\phantom{F(x)}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{n+4}}{(n+1)(n+4)}$$Diese Lösung hast du angegeben.\(\quad\checkmark\)

Nun lassen wir die Summe bei \(n=1\) beginnen, dafür müssen wir alle \(n\) in den Summanden um \(1\) vermindren:$$F(x)=\sum\limits_{n=0\pink{+1}}^\infty(-1)^{n\pink{-1}}\,\frac{x^{n\pink{-1}+4}}{(n\pink{-1}+1)(n\pink{-1}+4)}=\sum\limits_{n=1}^\infty(-1)^{n-1}\,\frac{x^{n+3}}{n(n+3)}$$

Das ist aber immer noch nicht ganz die Lösung aus deinem Buch, denn wegen \((-1)^{n-1}=-(-1)^n\) müsste das Vorzeichen der gesamten Summe dann negativ sein.

Answer 2

Probier doch zunächst mal ln(x + 1) über ein Taylorpolynom n.-Grades darzustellen.

Hier noch ein Vergleichsergebnis für deine Aufgabe.