Hier musst du vorsichtig sein, da scheint mir noch eine Indexverschiebung drin zu sein. Die Summe in meiner Rechnung beginnt bei n=0. Die Summe in der Buchlösung beginnt bei n=1.
Ich integriere mal das Ergebnis aus meiner Antwort und wir schauen, was nach der Indexverschiebung rauskommt. Die Integrationskonstante C spare ich mir:F(x)=∫f(x)dx=∫n=0∑∞(−1)nn+1xn+3=n=0∑∞(−1)n∫n+1xn+3dxF(x)=n=0∑∞(−1)n(n+1)(n+4)xn+4Diese Lösung hast du angegeben.✓
Nun lassen wir die Summe bei n=1 beginnen, dafür müssen wir alle n in den Summanden um 1 vermindren:F(x)=n=0+1∑∞(−1)n−1(n−1+1)(n−1+4)xn−1+4=n=1∑∞(−1)n−1n(n+3)xn+3
Das ist aber immer noch nicht ganz die Lösung aus deinem Buch, denn wegen (−1)n−1=−(−1)n müsste das Vorzeichen der gesamten Summe dann negativ sein.