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Aufgabe

Text erkannt:

Gegeben sei das Polynom f(X) = 2X3 −X +1. Für eine Algebra A über einem
Körper K liefert f eine Funktion A → A.

Sei C(R,R) C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) der R \mathbb{R} -Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen RR \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} and DEndR(C(R,R)) D \in \operatorname{End}_{\mathbb{R}}\left(C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\right) die durch die Ableitung gegebene R \mathbb{R} -lineare Abbildung
D : C(R,R)C(R,R),φφ D: C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad \varphi \longmapsto \varphi^{\prime}
Die Funktionen sin : RR \sin : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} und cos : RR \cos : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} liegen in C(R,R) C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) mit D(sin)=cos D(\sin )=\cos und D(cos)=sin D(\cos )=-\sin . Bestimmen Sie f(D)(cossin) f(D)(\cos -\sin )


Problem/Ansatz:

Meiner Vermutung ist, dass F(D)*(Cos-sin) :( -sin-cos) ist, da D ja die Ableitung ist. weiß aber nicht ob die überlegung stimmt

Avatar von

Mir ist nicht klar, was das f inf(D) bedeutet

Mir ist gerade aufgefallen, dass ich etwas von der Aufgabe vergessen hatte, nun müsste es verständlicher sein

Ich glaube, dass f(D) die Ableitung von f meint, bin mit aber absolut nicht sicher

1 Antwort

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Beste Antwort

Es ist f(D)=2D3D+idf(D)=2D^3 -D+id, da das 1-Element der Algebra

A=End(C(R,R))A=End(C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R})) die identische Abbildung ist.

Daher ist f(D)(cossin)=2D3(cossin)D(cossin)+cossin=...f(D)(\cos-\sin)=2D^3(\cos-\sin)-D(\cos-\sin)+\cos-\sin= ...

Ich habe dabei 2sin+4cos2\sin+4\cos herausbekommen.

Avatar von 29 k

Erst ein mal Danke. Zwei Fragen, die sich dann noch stellen, Wie gehe ich mit D 3 um? Es bezieht sich ja nicht auf das in der Klammer. Und muss ich das mal 2 davor oder danach machen

f(D)f(D) liegt in der Endomorphismen-Algebra.
In dieser ist die Multiplikation die Hintereinanderausführung
von Abbildungen, also ist D3=DDDD^3=D\circ D\circ D,

also D3(φ)=D(D(D(φ)))=D(D(φ))=D(φ)=φD^3(\varphi)=D(D(D(\varphi)))=D(D(\varphi'))=D(\varphi'')=\varphi'''

Und muss ich das mal 2 davor oder danach machen

Die reellen Zahlen werden durch ccidc\mapsto c\cdot id in die
Endomorphismen-Algebra eingebettet. Da diese Elemente
im Zentrum der Algebra liegen, kannst du vorher oder nachher
mit 2 multiplizieren.

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