Bestimmen Sie f(D)(\cos -\sin )

Question

Aufgabe

Text erkannt:

Gegeben sei das Polynom f(X) = 2X³ −X +1. Für eine Algebra A über einem
Körper K liefert f eine Funktion A → A.

Sei $C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ der $\mathbb{R}$-Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen $\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ and $D \in \operatorname{End}_{\mathbb{R}}\left(C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})\right)$ die durch die Ableitung gegebene $\mathbb{R}$-lineare Abbildung
$D: C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}) \longrightarrow C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R}), \quad \varphi \longmapsto \varphi^{\prime}$
Die Funktionen $\sin : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ und $\cos : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ liegen in $C^{\infty}(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ mit $D(\sin )=\cos$ und $D(\cos )=-\sin$. Bestimmen Sie $f(D)(\cos -\sin )$

Problem/Ansatz:

Meiner Vermutung ist, dass F(D)*(Cos-sin) :( -sin-cos) ist, da D ja die Ableitung ist. weiß aber nicht ob die überlegung stimmt

Comments

Mir ist nicht klar, was das f inf(D) bedeutet

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Mir ist gerade aufgefallen, dass ich etwas von der Aufgabe vergessen hatte, nun müsste es verständlicher sein

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Ich glaube, dass f(D) die Ableitung von f meint, bin mit aber absolut nicht sicher

Answer 1

Es ist $f(D)=2D^3 -D+id$, da das 1-Element der Algebra

$A=End(C^{\infty}(\mathbb{R},\mathbb{R}))$ die identische Abbildung ist.

Daher ist $f(D)(\cos-\sin)=2D^3(\cos-\sin)-D(\cos-\sin)+\cos-\sin= ...$

Ich habe dabei $2\sin+4\cos$ herausbekommen.

Comments

Erst ein mal Danke. Zwei Fragen, die sich dann noch stellen, Wie gehe ich mit D ³ um? Es bezieht sich ja nicht auf das in der Klammer. Und muss ich das mal 2 davor oder danach machen

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$f(D)$ liegt in der Endomorphismen-Algebra.
In dieser ist die Multiplikation die Hintereinanderausführung
von Abbildungen, also ist $D^3=D\circ D\circ D$,

also $D^3(\varphi)=D(D(D(\varphi)))=D(D(\varphi'))=D(\varphi'')=\varphi'''$

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Und muss ich das mal 2 davor oder danach machen

Die reellen Zahlen werden durch $c\mapsto c\cdot id$ in die
Endomorphismen-Algebra eingebettet. Da diese Elemente
im Zentrum der Algebra liegen, kannst du vorher oder nachher
mit 2 multiplizieren.