Gebietsintegral - Integrationsgrenzen bestimmen

Question

Aufgabe:

f(x,y)= sin(\( \sqrt{x²+y²} \))

B={(x,y): π²≤x²+y²≤4π²} ⊆ ℝ²

Problem/Ansatz:

Als erstes habe ich eine Skizze erstellt und erhalte einen Kreis, der von einem anderen Kreis ausgeschnitten wird. Dann transformiere ich die kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten:

\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} rcos(φ) \\ rsin(φ) \end{pmatrix} \)

jedoch besteht mein generelles Problem im Aufstellen der jeweiligen Integrationsgrenzen für r, weil ich diesen Kreisausschnitt habe. Bei φ habe ich die Grenzen 0≤φ≤2π, die ja dann somit das äußere Integral bilden.

Danke schon mal im Voraus.

:)

Answer 1

Aloha :)

Setze die "neuen" Ausdrücke für \(x\) und \(y\) in die Bedingung ein:$$\pi^2\le x^2+y^2\le4\pi^2\implies$$$$\pi^2\le(r\cos\varphi)^2+(r\sin\varphi)^2\le(2\pi)^2\implies$$$$\pi^2\le r^2\le(2\pi)^2\stackrel{(r\ge0)}{\implies}$$$$\pi\le r\le2\pi$$Das Integral kannst du daher wie folgt formulieren:$$I=\int\limits_{r=\pi}^{2\pi}\;\int\limits_{\varphi=0}^{2\pi}\sin(r)\,\underbrace{r\,dr\,d\varphi}_{=dx\,dy}$$

Comments

Vielen lieben Dank <3