Zeigen Sie, dass jeder Vektor x ∈ R2 als Linearkombination von w(1) und w(2) geschrieben werden kann

Question

Aufgabe:

…

Hallo

Es seien w(1)= 1       und w(2)= -3

                      -1,                       1

Zeigen Sie, dass jeder Vektor x ∈ R2 als Linearkombination von w(1) und w(2)
geschrieben werden kann.
Problem/Ansatz:

Ich habe verstanden, wie man lineare Unabhängigkeit zeigt.Aber hier bin ich total verwirrt

Answer 1

Aloha :)$$\vec w_1+\vec w_2=\binom{1}{-1}+\binom{-3}{1}=\binom{-2}{0}=-2\binom{1}{0}\implies\binom{1}{0}=\frac{\vec w_1+\vec w_2}{-2}$$$$3\vec w_1+\vec w_2=\binom{3}{-3}+\binom{-3}{1}=\binom{0}{-2}=-2\binom{0}{1}\implies\binom{0}{1}=\frac{3\vec w_1+\vec w_2}{-2}$$Damit gilt für jeden beliebigen Vektor \(\binom{x}{y}\in\mathbb R^2\):$$\binom{x}{y}=x\binom{1}{0}+y\binom{0}{1}=-\frac x2(\vec w_1+\vec w_2)-\frac y2(3\vec w_1+\vec w_2)$$

Answer 2

\( \begin{pmatrix} x\\y\end{pmatrix} =r\cdot\begin{pmatrix} 1\\-1\end{pmatrix}+s\cdot\begin{pmatrix} -3\\1 \end{pmatrix}\)

x=r-3s

y=-r+s

Addieren:

x+y=-2s → s=-0,5•(x+y)

r=x+3s=-0,5x-1,5y

Zu jedem Vektor findet man eindeutige "Koordinaten" r und s.

Also kann jeder Vektor als Linearkombination dargestellt werden.