Wie betimmt man die Vektoren der Bilinearform?

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Bilinearform x^→t*A*y^→ und ich soll Vektoren x^→ und y^→ finden damit x^→t*A*y^→ ≠ y^→t*A*x^→ ist:

a) A= (1 2 3             b) A= ( 1 2 0

   -1 1 1                           2 2 -1

   1 0 1)                          0 -1 0)

Problem/Ansatz:

Durch probieren hab ich beim Rechnen bei a) mit den Vektoren x= 1 2 3 , y= 4 5 6

76≠100 erhalten aber wieso gibts da eine Formel?

Comments

Ich kann diesen Zeichensalat nicht verstehen.

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zeilenvektor(x) * matrix(A) * spaltenvektor(y) ≠ spaltenvektor(y) * matrix(A)* spaltenvektor(x)

ist es so besser?

Answer 1

ist es so besser?

Ja :-)

Man kann recht einfach zeigen, dass

\(e_i^TAe_j=a_{ij}\) ist,

wobei \(e_i,e_j\) der i-te und j-te Standardeinheitsvektor sind.

Zu a) Da in \(A\) der Eintrag \(a_{12}\neq a_{21}\) ist, findest du

mit \(x=e_1,\; y=e_2\) ein einfaches Beispiel.

Zu b)

Hier ist \(A^T=A\), die Matrix ist symmetrisch.

Daher gilt

\(y^TAx=(y^TAx)^T=x^TA^T(y^T)^T=x^TAy\)

Comments

Als erstes danke für deine Hilfe und eine Frage hätte ich noch bei b) der Ausdruck unter "Daher gilt:" bedeutet das eine symmetrische Matrix kann gar nicht:

Text erkannt:

\( \vec{x}^{T} \times() \cdot \vec{y} \neq \vec{y}^{T} \times() \times \vec{x} \)

erfüllen kann?

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Ja. Bei einer symmetrischen Matrix tritt immer
Gleichheit auf.