Komplexe Lösungen von z^4=-1

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen der Gleichung
\( z^{4} \) = −1.
Skizzieren Sie diese in der komplexen Ebene.

Problem/Ansatz:

Um ehrlich zu sein hab ich keine Ahnung, wie man diese Aufgabe lösen soll. Kann mir jemand behilflich sein?

Comments

Schau mal hier nach: https://www.mathelounge.de/494747/komplexe-losungen-der-gleichung-z-4-1

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Alternativ ist die Gleichung äquivalent zu \(0=z^4+1=(z^2-\sqrt2\,z+1){\cdot}(z^2+\sqrt2\,z+1)\).
Wende darauf zweimal die \(pq\)-Formel an.

Answer 1

Aloha :)

Hier musst du dir überlegen, was \(\sqrt{i}\) ist:$$(1+i)^2=1+2i+i^2=1+2i-1=2i\implies i=\frac{(1+i)^2}{2}\implies\sqrt i=\frac{1+i}{\sqrt2}$$Damit kannst du die Lösungen von \(z^4=-1\) bestimmen:$$z^4=-1=i^2\implies z^2=\pm i=\left\{\begin{array}{ll}+i &=i\\-i & =i^2\cdot i\end{array}\right\}\implies z=\left\{\begin{array}{c}\pm\sqrt i\\\pm i\sqrt i\end{array}\right\}$$Das heißt ausgeschrieben:$$z_1=\frac{1+i}{\sqrt2}\quad;\quad z_2=-\frac{1+i}{\sqrt2}\quad;\quad z_3=\frac{i-1}{\sqrt2}\quad;\quad z_2=-\frac{i-1}{\sqrt2}$$

In der komplexen Ebene sind das die Vektoren: \(\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{1}\), \(-\frac{1}{\sqrt2}\binom{1}{1}\), \(\frac{1}{\sqrt2}\binom{-1}{1}\), \(-\frac{1}{\sqrt2}\binom{-1}{1}\)

Comments

Hi Taschakabumba,

danke für die Hilfe, ich hab es gut verstehen können.

Leider hänge ich gerade an der Einzeichnung der komplexen Lösungen in einer komplexen Ebene. In der Vorlesung haben wir leider noch keine Vektoren durchgenommen, sodass ich die Punkte irgendwie auf einen anderen Weg einzeichnen muss. Gibt es da noch eine andere Möglichkeit?

Danke und LG

Winterzwerg200

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Auf der \(x\)-Achse trägst du den Realteil auf, und auf der \(y\)-Achse den Imaginärteil.

$$z_1=\frac{1+i}{\sqrt2}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{\text{Real}}+i\cdot\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{\text{Imag}}\implies P_1\left(\frac{1}{\sqrt2}\,\bigg|\,\frac{1}{\sqrt2}\right)$$$$z_2=-\frac{1+i}{\sqrt2}=\underbrace{-\frac{1}{\sqrt2}}_{\text{Real}}+i\cdot\underbrace{\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)}_{\text{Imag}}\implies P_2\left(-\frac{1}{\sqrt2}\,\bigg|\,-\frac{1}{\sqrt2}\right)$$$$z_3=\frac{i-1}{\sqrt2}=\underbrace{-\frac{1}{\sqrt2}}_{\text{Real}}+i\cdot\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{\text{Imag}}\implies P_3\left(-\frac{1}{\sqrt2}\,\bigg|\,\frac{1}{\sqrt2}\right)$$$$z_4=-\frac{i-1}{\sqrt2}=\underbrace{\frac{1}{\sqrt2}}_{\text{Real}}+i\cdot\underbrace{\left(-\frac{1}{\sqrt2}\right)}_{\text{Imag}}\implies P_4\left(\frac{1}{\sqrt2}\,\bigg|\,-\frac{1}{\sqrt2}\right)$$

Mit \(\frac{1}{\sqrt2}\approx0,7\) solltest du das ganz gut zeichnen können.

Answer 2

Zur Multiplikation von komplexen Zahlen werden die Beträge multipliziert und die Argumente addiert.

        \(\begin{aligned} \left|x\cdot y\right| & =\left|x\right|\cdot\left|y\right|\\ \arg\left(x\cdot y\right) & =\arg\left(x\right)+\arg\left(y\right) \end{aligned}\)

Betrag von \(-1\) ist \(1\). Betrag von \(z\) ist deshalb \(\sqrt[4]{1} = 1\).

Argument von \(-1\) ist \(\pi\). Argument von \(z\) könnte deshalb \(\frac{\pi}{4}\) sein.

Argument von \(z\) könnte aber auch \(\frac{\pi}{4}+\varphi\) sein, wobei \(4\varphi\) ein ganzzahiges Vielfaches von \(2\pi\) ist. Im Wesentlichen gibt es da neben \(\varphi = 0\) noch drei weitere Möglichkeiten. Finde sie.

Erkundige dich auch über die Einheitswurzeln.

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tut mir leid, ich stehe noch absolut aufm schlauch...

Answer 3

Hallo,

wenn du die Polarform kennst, ist es relativ einfach.

$$z^4=-1$$

$$(|z|e^{i\varphi})^4=1e^{i\pi}$$

$$|z|^4=1~~~~;~~~~e^{i\cdot \red{4\varphi}}=e^{i\red\pi}$$

$$|z|=1~~~~;~~~~4\varphi=\pi+n\cdot2\pi~~~(n\in\Z)$$

$$\varphi_1=\pi/4~~~;~~~\varphi_2=3\pi/4~~~;~~~\varphi_3=5\pi/4~~~;~~~\varphi_4=7\pi/4$$

usw.

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Hi MontyPython,

danke schonmal für deine Hilfe.

Ich bin jetzt man deine Hilfestellung durchgegangen und habe die ersten Zeilen gut nachvollziehen können, aber leider verstehe ich die letzte Zeile nicht und nicht, wie ich weitermachen soll.

Könntest du mir da nochmal weiterhelfen?

Danke im Voraus und mfg,

Winterzwerg200

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Hallo zwerg,

|z| ist eine positive reelle Zahl, die hoch 4 gleich 1 ist. Also muss |z|=1 sein.

In der vorletzten Zeile siehst du die Potenzen mit e als Basis. Vergleich der Exponenten ergibt 4φ=π.

Allerdings sind Winkelangaben nicht eindeutig, da man immer 360° bzw. 2π addieren kann, daher π+n•2π. Wenn du fur n die Zahlen 0; 1; 2 und 3 einsetzt, erhältst du die vier verschiedenen Lösungen. Ab n=4 wiederholen sich die Lösungen.

:-)