Hallo hss,
hier eine allgemeine Vorgehensweise:
(bei dir ist n = 4 , a = -1 und b=0 (also w = -4 und |w| = r = 4)
Lösung der komplexen Gleichung zn = w [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]
w hat dann eine der Formen w = a + i · b = r · ei ·φ = r · ( cos(φ) + i · sin(φ) ) [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].
Den Betrag |w| = r und das Argument φw kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:
r = √(a2 +b2) und φw = arccos(a/r) wenn b≥0 [ - arccos(a/r) wenn b<0 ] .
[ Bei dir φw = π ]
Die n Werte zk für z = n√w erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1
aus der Formel zk = n√r · [ (cos( (φw + k · 2π) / n ) + i · sin( (φw + k · 2π) / n ) ]
[ Die Eulersche Form ist jeweils zk = n√r · ei·(φw+k·2π)/n ]
Kontrolllösungen:
z = - √2/2 - √2·i/2 ∨ z = - √2/2 + √2·i/2 ∨ z = √2/2 - √2·i/2 ∨ z = √2/2 + √2·i/2
Gruß Wolfgang