Komplexe Lösungen der Gleichung z^4 = -1

Question

Wie löse ich die Gleichung z⁴ =  -1 ? Die form ist z= x + yi

Ich habe an das hier gedacht:

(x+yi²)²= -1

(x²+y²+2ixy)²=-1

so. jetzt weiss ich nicht mehr wie ich das löse bzw. ob das überhaupt richtig so ist.

Comments

Hier hast du dich wohl vertan:

(x+yi²)²= -1

(x²+y²+2ixy)²=-1

sollte vermutlich

((x+yi)²)²= -1

(x² - y²+2ixy)²= -1 

sein.

Kann sein, dass es dir einfacher vorkommt. Mit Hilfe der Theorie zu "Wurzeln aus komplexen Zahlen" kommst du unabhängig von solchen Algebrafehlern und bei beliebigen Hochzahlen rasch zum Ziel.

Answer 1

Hallo hss,

hier eine allgemeine Vorgehensweise:

         (bei dir ist n = 4 , a = -1 und b=0 (also w = -4 und  |w| = r = 4)

 Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0  [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

                                        [ Bei dir φ_w = π ]

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

Kontrolllösungen:

z = - √2/2 - √2·i/2  ∨  z = - √2/2 + √2·i/2  ∨  z = √2/2 - √2·i/2  ∨  z = √2/2 + √2·i/2

Gruß Wolfgang

Comments

Das wäre doch die Allgemeine Vorgehensweise. Oder ist dies egal ? Ich muss es durch die Form die oben angegeben ist

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Ja, die Formel gilt allgemein, also auch bei deiner Gleichung.

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würde das nicht einfacher gehen zb durch das Einsetzen der Form so wie ich es gemacht habe ?

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Es gibt verschiedene Wege. Da es sich bei z⁴ = - 4 rechts um eine reelle Zahl handelt, ist meine Beschreibung umfangreicher, als es nötig wäre. Dafür kannst du sie z.B. auch für  z⁴ = -4 + 5i  o.Ä  anwenden.

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Hi,

wie kommst du darauf, dass Bei dir φ_w = π ?:)

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Der zu der komplexen Zahl  w = -1  gehörende Winkel ist 180° bzw. π

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Bei Gott danke für diese blaue Formel. Nach einem Semester Dank dir endlich verstanden

Answer 2

du kannst das auch versuchen mithilfe einer Faktorisierung  lösen:

$$ z^4=-1\\z^4+1=0\\(z^2+i)(z^2-i)=0\\(z+\sqrt{-i})(z-\sqrt{-i})(z+\sqrt{i})(z-\sqrt{i})=0\\ $$

Nun bleibt nur noch ±√(±i) zu bestimmen.

Ich zeige dir mal zwei Möglichkeiten für √i :

a) mithilfe der Expoenentialform:

$$ i=e^{i\pi/2}\\\sqrt{i}=e^{i\pi/4}=\frac{1}{\sqrt{2}}+i\frac{1}{\sqrt{2}}\\ $$

b) mithilfe von Koeffizientenvergleich:

$$ \sqrt{i}=x+iy\\i=(x+iy)^2\\i=x^2-y^2+i2xy\\-->\\x^2-y^2=0\\2xy=1\\4x^2y^2=1\\x^4=1/4\\x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\\ $$

Hier erhält man zwei Lösungen die sich um ihr Vorzeichen unterschieden, da das beim Quadrieren wegfällt. Als Wurzel wählt man der Konvention nach die Lösung mit positiven Realteil. Zur Bestimmung der Nullstellen macht es aber sowieso keinen Unterschied, da die Linearfaktoren paarweise auftreten , einmal mit + und einmal mit - vor √i .

√(-i) ist damit auch klar:

√(-i)=√(-1)*√(i)=...

Comments

Der erste Teil macht Sinn (mit dem Koeffizientenvergleich), dennoch weiß ich nicht wie ich jetzt mit √-i rechnen soll. Oder wie ich darauf überhaupt komm. :)