Integralrechnung Anwendungsaufgabe Zufluss und Abfluss

Question

Aufgabe:

Das folgende Diagramm stellt die zeitliche Entwicklung von Zufluss und Abfluss einer Badewanne dar.
a) Ist es auch möglich, dass zu einem Zeitpunkt sowohl der Wasserhahn aufgedreht ist, als auch der Abfluss geöffnet ist?

b) Wie viel Wasser war maximal in der Badewanne?

c) Wie viel Wasser befindet sich nach 20 Minuten in der Wanne?

Problem/Ansatz:

Wie löse ich diese Aufgaben, bzw. wie lese ich diese ab?

Answer 1

Das folgende Diagramm stellt die zeitliche Entwicklung von Zufluss und Abfluss einer Badewanne dar.

a) Ist es auch möglich, dass zu einem Zeitpunkt sowohl der Wasserhahn aufgedreht ist, als auch der Abfluss geöffnet ist?

Da die Änderungsrate die Summe aus Zu- und Ablauf ist, könnte es theoretisch sein, dass sowohl Wasser zu als auch abfließt.

Normalerweise geht man aber von Menschen aus, die nicht unnötig Wasser verschwenden und entweder Wasser zulaufen oder ablaufen lassen.

b) Wie viel Wasser war maximal in der Badewanne?

Wenn die Wanne am Anfang leer war, ist das Maß des zugelaufenen Wassers die Fläche oberhalb der x-Achse. Also

4 * 10 + 2 * 5 + 4 * 10 = 40 + 10 + 40 = 90 Liter

c) Wie viel Wasser befindet sich nach 20 Minuten in der Wanne?

90 - 2 * 16 = 58 Liter

Comments

Ich habe aber nicht ganz verstanden warum der Funktionswert W(t), der die Wassermenge in der Badewanne zum Zeitpunkt t angibt, der Fläche zwischen der Zuflussfunktion z(t) und der x-Achse im Intervall 0 bis t entspricht...

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Weil umgekehrt die Änderungsrate der Wassermenge in der Badewanne eben genau die Ableitung ist. Also müssen wir die Ableitung rückgängig machen und damit integrieren bzw. eine Stammfunktion bilden.

Answer 2

Ich habe aber nicht ganz verstanden warum der Funktionswert W(t), der die Wassermenge in der Badewanne zum Zeitpunkt t angibt, der Fläche zwischen der Zuflussfunktion z(t) und der x-Achse im Intervall 0 bis t entspricht...

Schau dein Diagramm an!

4 Minuten lang fließt Wasser ein, und zwar mit der Fließgeschwindigkeit 10 Liter pro Minute. Wie viel Wasser ist das in den 4 Minuten?
(Und wie groß ist die blaue Fläche?)
Die nächsten 2 Minuten fließt Wasser ein, und zwar mit der Fließgeschwindigkeit 5 Liter pro Minute. Wie viel Wasser ist das dann in diesen 2 Minuten?
(Und wie groß ist die grüne Fläche?)

Comments

In den 4 Minuten waren 40 L und in den 2 Minuten 10L

und woher weiß ich wie groß die flächen sind...

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und woher weiß ich wie groß die flächen sind...

Lass dich doch einfach mal in eine Grundschule einschulen und passe in Klasse 4 gut auf. Da lernt man die Berechnung von Rechteckflächen.

Ach so, Maße aus einem Koordinatensystem ablesen muss man auch noch können.

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Das war schnell. Respekt!
10 Sekunden nach dem Kommentar schon die Löschung des eigenen Accounts...