Berechnen Sie für die Funktion f: ℝ \backslash\{0\} → ℝ mit

Question

Berechnen Sie für die Funktion \( f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{R} \) mit
\( f(x)=\frac{1}{x}, \quad x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \)
und die Entwicklungsstelle \( x_{0}=2 \) das Taylor-Polynom \( T_{n}(x) \) sowie das Restglied \( R_{n}(x) \).

Comments

Du weißt doch, dass man dafür die Ableitungen von f braucht. Du könntest schonmal die ersten 4 Ableitunhen ausrechnen. Erkennst Du ein Muster für die weiteren Ableitungen?

Answer 1

\(T_n(x) = \sum\limits_{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0)^i\)

\(R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}\) mit \(\xi \in \left[\min\{x,x_0\},\max\{x,x_0\}\right]\)

Answer 2

Hier eine Lösung für Potenzreihen-Freaks:

Grundlage ist der Satz:

Wenn eine Funktion durch eine Potenzreihe dargestellt werden kann,

dann ist diese Potenzreihe die Taylor-Reihe.

Sei \(y=x-2\), also \(x=y+2\). Dann haben wir

\(\frac{1}{x}=\frac{1}{y+2}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-(-\frac{y}{2})}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{1-q}\) mit \(q=-y/2\).

\(\frac{1}{1-q}\) ist der Wert der geometrischen Reihe \(\sum_{k=0}^{\infty} q^k\).

Daher ist \(\frac{1}{x}=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-\frac{1}{2})^ky^k=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{\infty}(-\frac{1}{2})^k(x-2)^k\).

Hieraus ergibt sich \(T_n(x)=\frac{1}{2}\sum_{k=0}^n (-\frac{1}{2})^k (x-2)^k\).

Leider macht das Restglied hier Probleme.

Comments

Das / ein Restglied für die geometrische Reihe ist

$$-q^{n+1}/(1-q)$$

Was qualitativ dem Taylor-Restglied entspricht.

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@Mathhilf: Danke! War offenbar zu faul ;-)