Zeige, dass φ ein Homomorphismus der Gruppe GL_n(K) in sich ist.

Question

Es seien K ein Körper und n ∈ N. Eine Abbildung φ : GL_n(K) → GL_n(K) sei für alle X ∈
GL_n(K) definiert durch:

(α) X → AXA^−1 mit einer fest gewählten Matrix A ∈ GL_n(K).
(β) X → ζ(X) mit einem fest gewählten ζ ∈ Aut(K).

Zeige, dass φ ein Homomorphismus der Gruppe GL_n(K) in sich ist. Bestimme auch den Kern von φ.

Könnte mir jemand helfen? Evtl köntne man bei (α) es am besten anhand einer Diagonalmatrix zeigen

Answer 1

α) Du musst doch nur zeigen, dass gilt: φ(XoY)= φ(X) o φ(Y)

wenn o für die Verknüpfung in GL_n(K) steht.

Also los: φ(XoY) = AoXoYoA^{^(−1)} mit der Einheitsmatrix E also

   = AoXoEoYoA^(−1)  und wegen A^(−1)  o A = E

      = AoXoA^(−1)  o A oYoA^(−1)

         = ( AoXoA^(−1) )  o ( A oYoA^(−1))

     = φ(X)oφ(Y)   q.e.d.

und für den Kern überlege für welche X

AoXoA^(−1) = E  gilt. Nimm auf beiden Seiten o A

==> AoXoA^(−1)o A = Eo A

==> AoX =  A    | A^(-1) o .....

==> A^(-1) oAoX =  A^(-1) o A

==> X =  E.

Also trivialer Kern, besteht nur aus dem neutr. El.

Comments

Also im Prinzip mit der Definition einfach arbeiten.Müsste das dann auch bei Beta so funktionieren?

Answer 2

Zu (β):

Sei \(X=(x_{ij})\) und \(Y=(y_{ij})\).

Dann ist \(\zeta(XY)_{ik}=\zeta(\sum_{j=1}^n x_{ij} y_{jk})=\sum_{j=1}^n \zeta(x_{ij}y_{jk})=\)

\(=\sum_{j=1}^n \zeta(x_{ij})\zeta(y_{jk})=(\zeta(X)\zeta(Y))_{ik}\),

also \(\varphi(XY)=\varphi(X)\varphi(Y)\)

Comments

Gibt es einen besonderen Grund, warum du es anhand der Summenschreibweise gezeigt hast?

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So berechnet man das Element des Produktes
zweier Matrizen an der Stelle (i,k). Man benötigt
die einzelnen Matrixeinträge von X,Y und XY,
da dies die Körperelemente sind, auf die man
den Körperautomorphismus \(\zeta\) "loslassen" soll.

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Aso ok jetzt kann ich es nachvollziehen. Und für den Kern muss man halt zeigen für welche X , ζ(X)=0 gilt?

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Das neutrale Element in GL(n,K) ist nicht 0, sondern

die Einheitsmatrix !

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Aso stimmt. Und sollte man hier auch wieder mit der Summenschreibweise vorngehen?

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Hier kannst du es dir viel einfacher machen:

ist \(\zeta^{-1}\) der zu \(\zeta\) inverse Automorphismus

in Aut(K), dann gilt mit \(\psi: \; X\mapsto \zeta^{-1} (X)\):

\(\varphi\circ \psi=\psi\circ \varphi=id_{GL}\)

\(\varphi\) besitzt also eine Umkehrfunktion und ist daher

bijektiv, daher ist der Kern trivial = \(\{E_n\}\).