Schließen Sie, ¨ daß (Z/kZ, +k, [0]) eine abelsche Gruppe und Z → Z/kZ, n 7→ [n] ein Homomorphismus ist.

Question

Aufgabe:

Aufgabe 2. (Benutzt Arithmetik in Z) Fur ¨ k in Z betrachten wir die Menge
Z/kZ. Zeigen Sie, daß
+k : Z/kZ × Z/kZ → Z/kZ , [n] +k [m] 7→ [n + m]
eine wohldefinierte assoziative und kommutative Verknupfung ist. Schließen Sie, ¨
daß (Z/kZ, +k, [0]) eine abelsche Gruppe und Z → Z/kZ, n → [n] ein Homomorphismus ist.

Answer 1

+k : Z/kZ × Z/kZ → Z/kZ , [n] +k [m] 7→ [n + m]

wohldefiniert: D.h. Sei k∈ℤ   und  sind [n],[m],[a],[b] ∈Z/kZ

mit [n]=[a]  und [m]=[b] dann gilt [n + m] =  [a + b] .

Es ist also zu zeigen, dass (n+m)-(a+b) ∈  kℤ   gilt.

Wegen [n]=[a]  und [m]=[b] gilt n-a ∈  kℤ  und m-b ∈  kℤ

also auch (n-a)+(m-b)  ∈  kℤ  also (n+m)-(a+b) ∈  kℤ.

assoziativ: Seien ,[a],[b],[c] ∈Z/kZ

==> ( [a] +_k [b] )  +_k [c]  nach Def.

   = [a+b] +k [c]   nochmal

  = [(a+b)+c ]   assoziativ in ℤ

  = [a+(b+c) ]  wieder 2x die Def. zeigt

 .....  =   [a] +k (  [b]   +k [c]  )

kommutativ entsprechend wegen Kommutativität in (ℤ,+).

(Z/kZ, +k, [0]) ist eine abelsche Gruppe.

Dazu ist zu prüfen: Abgeschlossenheit (Klar, weil Additionsergebnis

   nach Def. wieder in Z/kZ.

assoziativ (s.o.)

[0] ist neutral, weil 0 neutral in (ℤ,+).

Inverse existieren: [-x] ist invers zu [x].

abelsch : s.o.  +_k ist kommutativ.

Z → Z/kZ, n → [n] ein Homomorphismus :

Seien a,b ∈ℤ. Zeige [a+b] = [a] +_k [b].