Stetigkeit/Unstetigkeit beweisen

Question

Sei \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) die Funktion
\( f(x):=\left\{\begin{array}{cc} x & \text { falls } x \in \mathbb{Q} \\ 1-x & \text { falls } x \notin \mathbb{Q} \end{array}\right. \)
Untersuchen Sie, in welchen Punkten \( x_{0} \in \mathbb{R} \) die Funktion \( f \) stetig ist und geben Sie den Typ der Unstetigkeitsstellen von \( f \) an.

Answer 1

Bei a=0,5 erhältst du für jede Folge (x_n)_n∈ℕ   , die gegen 0,5 konvergiert

auch eine Funktionswertfolge, die gegen f(0,5)=0,5 konvergiert. Dort ist

f also stetig. An allen anderen Stellen sind x und 1-x verschieden,

also erhältst du für Folgen folgen rationaler Zahlen, die gegen a konvergieren

einen anderen Wert der Funktionswertfolgen als für Folgen irrationaler Zahlen,

also ist f dort nicht stetig.