Bei welchen Abmessungen hat das Dreieck die größte Fläche?

Question

Hallo, während meiner Prüfungsvorbereitung komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter und bitte um die Lösung:

Aufg. 2: Optimierung
Optimierungsaufgabe:
Innerhalb eines Kreises mit Radius \( \mathrm{r}=1 \) befindet sich ein gleichschenkliges Dreieck. Bei welchen Abmessungen hat das Dreieck die größte Fläche?

- Ergänzen Sie die Skizze mit benötigten Variablen.
- Bestimmen Sie die Zielfunktion zur Lösung der Aufgabe.
- Ermitteln Sie den Zulässigkeitsbereich (d.h. die möglichst genaue Eingrenzung der beteiligten freien Variablen).
- Bestimmen Sie alle erforderlichen Nebenbedingungen zur Lösung der oben genannten Aufgabe.
Die Aufgabe besteht nicht darin diese Optimallösung zu bestimmen!

Vielen Dank im Voraus für die Hilfe.


Liebe Grüße

Sevi

Answer 1

Falls die Optimallösung gesucht werden soll:

Lösungen Teilaufgaben sind schon dabei.

\(A(u)=u*(1+ \sqrt{1-u^2}) \) soll maximal werden.

 \(A(u)=u+u* \sqrt{1-u^2}) \)

\(A(u)=u+\sqrt{u^2-u^4} \)

\(A´(u)=1+\frac{2u-4u^3}{2*\sqrt{u^2-u^4}}\)

\(A´(u)=1+\frac{u-2u^3}{\sqrt{u^2-u^4}}\)

\(1+\frac{u-2u^3}{\sqrt{u^2-u^4}}=0\)

\(\sqrt{u^2-u^4}=2u^3-u |^{2}\)

\(u^2-u^4=4u^6-4u^4+u^2\)

\(4u^6-3u^4=0\)

\(u^4*(4u^2-3)=0\)

\(u₁=0\) kommt nicht in Betracht.

\(u^2=\frac{3}{4}\)

\(u₂=\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

\(u₃=-\frac{1}{2}\sqrt{3}\)

Comments

Danke sehr :)