Normalenvektor aus der Geradengleichung zeigt immer in bestimmte Richtung

Question

Aufgabe:

Gegeben die implizite Geradengleichung a*x₁ + b*x₂ = c. a und b und c seien beliebige reelle Zahlen.

Problem/Ansatz:

(a,b)^T    ist ein Normalenvektor zur Geraden x₂ = -(a/b)x₁+c. Meine Frage ist nun diese:

Eine Gerade teilt ja einen zweidimensionalen Raum in 2 Bereiche, wenn man die Gerade als Trennlinie betrachtet. Es gilt immer, dass (a,b)^T auf die Seite zeigt, auf der a*x₁ + b*x₂ > c gilt. Mich interessiert, wieso das gilt. Hat jemand einen Beweis dafür oder eine kurze Erklärung? Würde mich interessieren. Leider finde ich dazu nichts. Lieben Dank!

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Welches c ist gemeint?

Answer 1

a*x₁ + b*x₂ = c kannst du ja mit dem Skalarprodukt

schreiben \( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} = c \)

Und wenn du den Normalenvektor \( \begin{pmatrix} a\\b \end{pmatrix} \)

an irgendeinem Punkt P der Geraden beginnen lässt und den Ortsvektor zu

einem Punkt Q der Geraden ( Das ist ja \(  \begin{pmatrix} x_1\\x_2 \end{pmatrix} . \))

auch mit Anfangspunkt in P verschiebst, dann betrachte den Winkel zwischen

den beiden Vektoren. Wenn es ein spitzer Winkel ist, ist das Skalarprodukt

positiv, also c positiv.

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Lieben Dank, das hat mir sehr geholfen!