Wie lässt sich das vierte Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt 0 ohne Ableitung bilden?

Question

Aufgabe:

Wie lässt sich das vierte Taylorpolynom mit Entwicklungspunkt 0 ohne Ableitung bilden?

f(x) = sin(x^3+2x)

Problem/Ansatz:

Potenzreihe des Sinus verwenden

Comments

Es ist \(\sin t=t-\tfrac16t^3+\dots\). Setze \(t=x^3+2x\), multipliziere aus, fasse zusammen, sortiere nach Potenzen von \(x\) und ignoriere alle Potenzen, die größer als \(4\) sind.

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Wenn x = 0, müsste dann nicht t= 0^3+2*0 = 0 sein?

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Sicher ist das so. Ich sehe da aber kein Problem.

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Also reicht es für t-1/6t^3 einzusetzen, weil sonst entstehen höhere Potenzen oder?

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Das ist richtig. Im Übrigen ist auch deine Lösung 2x-x³/3 richtig.

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Also wäre 2x-x^3/3 schon das vierte Taylorpolynom?

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So ist es. Du kannst deine Ergebnisse z.B. bei Wolfram|Alpha selbst überprüfen: wolframalpha.com.

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Alles klar. Danke für die Hilfe

Answer 1

Das vierte Taylorpolynom des Sinus mit Entwicklungspunkt 0 ist die Summe der ersten fünf Glieder der Potenzreihe des Sinus.

Comments

Und was ist mit dem Term in der Klammer muss dieser nicht berücksichtigt werden?

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Es beginnt schon mit 2x-x^3/3 was nicht passt mit dem Sinus