Wie groß ist der Innenwinkel bei A?

Question

Aufgabe:

Das gleichschenklige Dreieck ABC kann wie abgebildet in drei kleinere gleichschenklige Dreiecke zerlegt werden. Dabei gelten |AB| = |AC|, |AD| = |BD|,
|CD| = |CE| und |BE| = |CE| (Abbildung nicht maßstabsgerecht).
Wie groß ist der Innenwinkel bei A?
(A) 24◦
(B) 28◦
(C) 30◦
(D) 32◦
(E) 36◦

Problem/Ansatz:

Diese Aufgabe steht bei dem Mathewettbewerb Känguru 2022 bei Klasse7/8, Frage c9. Kann man sich online ansehen. Ich habe die Lösung (E 36°) gesehen. Dadurch weiß ich nun aber immer noch nicht, wie die da hinkommen. Kann mir das jemand erklären, was ich tun muss? Danke.

Answer 1

Beschrifte zunächst alle Winkel. Fange mit dem unbekannten Winkel x an.

Dann sind die Basiswinkel gleich groß und schon hast du es:

Comments

Danke, das habe ich nachvollziehen können. Hat ein wenig gedauert, aber so macht das in Kombi zwischen Beschriftungen und Rechnung dann nachvollziehbar Sinn.

Answer 2

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Dadurch weiß ich nun aber immer noch nicht, wie die da hinkommen. Kann mir das jemand erklären, was ich tun muss?

mache Dir eine (eigene) Zeichnung und beginne damit einen der Winkel zu bezeichnen. Zum Beispiel den Winkel \(\angle CBE= \varphi\), den ich unten gelb markiert habe.

Ausgehend von \(\varphi\) rechne dann den Winkel \(\alpha\) (grün) bei \(A\) aus. Die Winkelsumme im Dreieck ist Dir bekannt! Weiter ist Dir bekannt, dass die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreicke identisch sind.

Nimmst Du den Weg über die Dreiecke \(\triangle BCD\), \(\triangle ECD\) und \(\triangle BCA\) kommst Du zu$$\alpha = 180° - 2(180° - 3\varphi)$$Gleichzeitig ist aber auch \(\triangle BDA\) gleichschenklig und deshalb gilt$$\alpha = 180° - 4\varphi$$Setze beides gleich und Du kommst auf die Lösung.

Gruß Werner

Answer 3

Nennen wir den gesuchten Winkel α,Der Winkel DBA hat dann auch die Größe α.

Nach dem Außenwinkelsatz hat der Winkel EDC die Größe 2α.

Der Winkel CED hat dann auch die Größe 2α.

Er ist Außenwinkel am Dreieck BCEdessen gleich große Winkel CBE und ECB dann die Größe α haben müssen.

Der Winkel CBA ist dann α+α, und der Winkel ACB des gleichschenkligen Dreieecks ABC hat auch diese Größe.

Die Innnenwinkelsumme des Dreiecks ABC ist somit 5α.

Answer 4

Der gesuchte Winkel sei α.

Die Winkel in den Dreiecken:

∆ABD: α, α, 180°-2α

∆DEC: 2α, 2α, 180°-4α

∆EBC: 180°-2α, α, α

∆BCA: α, 2α, 2α

Damit ist die Winkelsumme

180°=5α

α=36°

:-)