zeige, dass ein punkt c ∈ (0, a) existiert, so dass |f ''(c)| ≥ 4b/a^2

Question

Aufgabe:

seien a, b ∈ (0, ∞), f ∈ C² (ℝ), f(0)  = 0, f '(0) = 0, f '(a) = 0, f(a) = b

zeige, dass ein punkt c ∈ (0, a) existiert, so dass |f ''(c)| ≥ 4b/a²

Problem/Ansatz:

mein ansatz wäre vielleicht, 4b/a² als 4 * f(a)/a² zu schreiben und dann f''(c) zur h-methode umzuschreiben, allerdings würde das ja nicht direkt zeigen, dass f ''(c) größer ist oder?

falls mir kurz wer helfen könnte würde ich mich freuen

Answer 1

Du kannst versuchen, den Satz von Taylor mit Integralrestglied zu verwenden:

$$f(x)= f(a)+ f'(a) \cdot (x-a) + \frac{f''(a)}{2} \cdot (x-a)^2 + \dots + \frac{f^{(n-1)}(a)}{(n-1)!}+ \frac{1}{(n-1)!} \int_{x}^{a}f^{(n)}(t) \cdot (x-t)^{n-1}dt$$

Dann wähle a=0 als Entwicklungsmitte, x=a und n=2. Kommst du von hier weiter?

Comments

ich komm leider nicht ganz drauf, wenn ich Taylor beim Entwicklungspunkt 0 verwende erhalte ich doch für n = 2 und x = a

f(0) + f '(0) + \( \int\limits_{0}^{a} f ''(t) *(-t) dt \)

also f(a) = b = \( \int\limits_{0}^{a} f ''(t) *(-t) dt \)

leider hörts hier auch schon auf. Wäre das bis hier den richtig? Falls du noch einen denkanstoß hättest wäre ich sehr dankbar

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Ich komme beim Einsetzen in die Taylorformel auf

$$b=  \int_{0}^{a} f''(t) \cdot (a-t) dt$$

Jetzt wissen wir ja, dass f ∈ C²(ℝ) ist, also ist auch f'' eine stetige Funktion. Daraus folgt, dass auch Ιf''Ι eine stetige Funktion ist. Aber jetzt wissen wir nach dem Satz über die Existenz von Minimum und Maximum, dass die stetige Funktion Ιf''Ι ein Maximum auf dem Intervall [0,a] annimmt, nennen wir es M und definieren es als Ιf''(c)Ι und folgende Ungleichung gilt:

$$b = \vert b \vert = \bigg\vert \int_{0}^{a} f''(t) \cdot (a-t)dt \bigg\vert \leq \int_{0}^{a} \vert f''(t) \cdot (a-t)\vert dt \leq M \cdot \int_{0}^{a} (a-t) dt= M \cdot \frac{a^2}{2}$$

Und daraus folgt ja sofort M ≥ 2b/a², also Ιf''(c)Ι ≥ 2b/a²

Wie kannst du jetzt weitermachen um zu zeigen, dass  für M aber sogar M ≥ 4b/a² gilt?

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wenn ich bis hier alles verstanden habe, dann ergibt sich ja das \( \frac{a^2}{2} \)  aus dem Integral. dürfte man vielleicht annehmen, dass t * c = k und dann gilt

b ≤ M * \( \int\limits_{0}^{a} (a - k) dk\) = M * \( \frac{a^2}{4} \)

oder darf man das t im restglied nicht verändern?

Danke für weiter hilfe :)

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Du hast ja im ersten Schritt, als du die Taylorentwicklung für f(a) gemacht hast, noch nicht benutzt, dass f'(a)=0. Das kannst du benutzen, wenn du einfach mal die Taylorentwicklung für f(0) aufstellt, also setzt du a als Entwicklungsmitte , x=0 und n=2, du vertauschst also in der Taylorformel alle a und 0. Dadurch kannst du eine zweite Gleichung für b finden.

Wenn du jetzt beide addierst...

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also f(0) = f(a) +f '(a) *(0 - a) +\( \int\limits_{0}^{a} f ''(t)(-t)dt\)

mit einsetzen von f''(t) = M

0 ≤ b + \( \frac{-a^2}{2} \)

=> \( \frac{2b}{a^2} \) ≤ f ''(c)

wenn man das jetzt die voneinander abzieht, dann ist ja

\( \frac{2b}{a^2} \) -f ''(c) ≤ f ''(c) - \( \frac{2b}{a^2} \)

und dann schließlich

\( \frac{4b}{a^2} \) ≤  f ''(c)

wäre das so ok?