Für welchen Winkel wird die Wurfweite maximal?

Question

Aufgabe:

Eine historische Kanone feuert eine Kugel ab. Die Flugbahn der Kugel wird durch folgende Formel beschrieben.
h(x)=tan(α)∙x-g/(2∙〖v_0〗^2∙〖cos〗^2 (α) )∙x^2            g=9,81  m⁄s^2
Dabei ist y(x) die Höhe (in m), wenn die waagrechte Entfernung vom Abschussort x m beträgt. v_0  ist die Abschussgeschwindigkeit der Kugel und α der Abschusswinkel.
Stelle die Wurfweite als Funktion des Winkels α dar.
Zeichne den Graphen dieser Funktion, wenn v_0=80 m⁄s und interpretiere seinen Verlauf.

Für welchen Winkel wird die Wurfweite maximal?

Problem/Ansatz:

Stelle die Wurfweite als Funktion des der Abschussgeschwindigkeit v dar.
Zeichne den Graphen dieser Funktion, wenn α=45° und 0 m/s ≤ v ≤ 200 m/s. inter¬pretiere seinen Verlauf.

Was meint man damit?

Answer 1

Stelle die Wurfweite als Funktion des Winkels α dar.

\(w_1(\alpha) = \text{positive Nullstelle von $y(x)$}\).

Für welchen Winkel wird die Wurfweite maximal?

Bestimme den Hochpunkt von \(w_1\).

Stelle die Wurfweite als Funktion des der Abschussgeschwindigkeit v dar.

\(w_2(v) = \text{positive Nullstelle von $y(x)$}\).

Ersetze dabei auf der rechten Seite das \(v_0\) durch \(v\).

Answer 2

Was meint man damit?

Womit genau? Nur das was unter Problem/Ansatz steht oder alle Aufgaben.

1. Stelle die Wurfweite als Funktion des Winkels α dar.

Berechne hier mal die Wurfweite w für verschiedene Winkel. Nimm v0 = 80 m/s. Dann machst du es allgemein für den Winkel α und stellst dann eine Funktion auf. Z.B. w(α)

2. Zeichne den Graphen dieser Funktion, wenn v0 = 80 m⁄s und interpretiere seinen Verlauf.

Zeichne die Funktion w(x), die du unter 1. erstellt hast.

3. Für welchen Winkel wird die Wurfweite maximal?

Ich vermute hier einen Winkel von 45 Grad.

4. Stelle die Wurfweite als Funktion des der Abschussgeschwindigkeit v dar.

Berechne jetzt die Wurfweite für verschiedene Werte von v0 und einem Winkel von 45 Grad. z.B. w(v)

5. Zeichne den Graphen dieser Funktion, wenn α = 45° und 0 m/s ≤ v ≤ 200 m/s. interpretiere seinen Verlauf.

Zeichne den Graphen der Funktion, die du unter 4. aufgestellt hast. Ich vermute, je größer die Anfangsgeschwindigkeit, desto größer die Wurfweite.

Answer 3

Stelle die Wurfweite als Funktion des Winkels α dar.

Zeichne den Graphen dieser Funktion, wenn v_0=80 m⁄s

https://www.desmos.com/calculator/th9fyapyxu

\(x_w(\alpha)=\dfrac{2v_0^2}{9,81}\sin(\alpha)\cdot\cos(\alpha)\)

α=45° → xw≈652,4m