Was sind hier die richtigen Begriffe, damit ich das Problem überhaupt googlen kann?

Question

Aufgabe:

Seien \( V, W \) beliebige \( K \)-Vektorräume, \( M \subseteq V \) und \( \varphi: V \rightarrow W \) eine lineare Abbildung. Beweisen oder widerlegen Sie: \( { }^{1} \)
Falls \( M \) linear abhängig ist, so ist \( \varphi(M) \) linear abhängig

Problem/Ansatz:
Wenn ich das hier richtig sehe, ist M ein Untervektorraum von V. Ich weiß aber nicht wie eine Abbildung eines ganzen Vektorraums aussehen soll.  Und wie sich eine lineare Abhängigkeit in beiden darstellt. Was sind hier die richtigen Begriffe, damit ich das Problem überhaupt googlen kann? Oder hat jemand eine gute Quelle wo man etwas über Probleme dieser Art lesen kann.

Herzlichen Dank im voraus.

Answer 1

\( M \subseteq V \) heißt nur: M ist eine Teilmenge von V,

also einfach eine Menge von Vektoren aus V.

Und so eine Menge von Vektoren kann eben lin.

abh. oder linear unabhängig sein.

Und \( \varphi(M) \) ist dann die Menge der Bilder,

also wieder eine Menge von Vektoren (Diesmal in W)

und man kann sich fragen: Sind sie lin. abh.

oder nicht.

Ein Kriterium für lin. abhängig bei mehreren Vektoren

ist ja: Mindestens einer lässt sich als Lin.komb.

der übrigen darstellen. Ist also etwa

\(   v=\sum\limits_{k=1}^n a_kv_k \) so eine Lin. komb. in V

Dann gilt wegen der Linearität der Abb.

\(  \varphi(v)=\sum\limits_{k=1}^n a_k\varphi(v_k) \)

also ist das Bild von v auch als Lin.komb.

der Bilder der v_k dargestellt, somit sind die Bilder auch lin. abh.

Wenn M nur ein Element enthält ist das der 0-Vektor

von V und sein Bild ist 0-Vektor von W, also auch lin. abh.

Damit ist die Aussage bewiesen.