\( M \subseteq V \) heißt nur: M ist eine Teilmenge von V,
also einfach eine Menge von Vektoren aus V.
Und so eine Menge von Vektoren kann eben lin.
abh. oder linear unabhängig sein.
Und \( \varphi(M) \) ist dann die Menge der Bilder,
also wieder eine Menge von Vektoren (Diesmal in W)
und man kann sich fragen: Sind sie lin. abh.
oder nicht.
Ein Kriterium für lin. abhängig bei mehreren Vektoren
ist ja: Mindestens einer lässt sich als Lin.komb.
der übrigen darstellen. Ist also etwa
\( v=\sum\limits_{k=1}^n a_kv_k \) so eine Lin. komb. in V
Dann gilt wegen der Linearität der Abb.
\( \varphi(v)=\sum\limits_{k=1}^n a_k\varphi(v_k) \)
also ist das Bild von v auch als Lin.komb.
der Bilder der vk dargestellt, somit sind die Bilder auch lin. abh.
Wenn M nur ein Element enthält ist das der 0-Vektor
von V und sein Bild ist 0-Vektor von W, also auch lin. abh.
Damit ist die Aussage bewiesen.