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Hey, seht ihr vielleicht, wie man auf diese Varianz beziehungsweise diesen Erwartungswert kommt? Ich verstehe nicht so ganz, wieso der erste Teil (1-2/sqrt(n)) zur Berechnung der Varianz bzw. des Erwartungswert weggelassen worden ist. Oder sehe ich das falsch?

IMG_2679.jpg

Text erkannt:

Aufgabe \( 3(5 \mathrm{P}) \). Sei \( X_{n, i}:(\Omega, \mathcal{A}, P) \rightarrow \mathbb{R} \) ein Dreiecksschema von zeilenweise unabhängigen Zufallsvariablen, \( 1 \leq i \leq n \) und \( 3 \leq n \in \mathbb{N} \), mit
\( P_{X_{n, i}}=\left(1-\frac{2}{\sqrt{n}}\right) \varepsilon_{0}+\frac{1}{\sqrt{n}} \varepsilon_{n}+\frac{1}{\sqrt{n}} \varepsilon_{-n} . \)
Sei \( T_{n}:=\sum \limits_{i=1}^{n} X_{n, i} \).

IMG_2680.jpg

Text erkannt:

\( \mathbb{E}\left[X_{n, i}\right]=n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}-n \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}=0, \quad \operatorname{Var}\left(X_{n, i}\right)=\mathbb{E}\left[X_{n, i}^{2}\right]=n^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}+(-n)^{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{n}}=2 n^{3 / 2} \)

Ich wäre super danke für eure Hilfe.


LG

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Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung von \(X_{n,i}\) kann man wohl einfacher so aufschreiben:

\(x\)
-n
0
n
\(P(X_{n,i}=x)\)
\(\frac 1{\sqrt n}\)
\(1-\frac 2{\sqrt n}\)
\(\frac 1{\sqrt n}\)

$$E\left(X_{n,i}\right) =-n\cdot \frac 1{\sqrt n} + 0\cdot \left(1-\frac 2{\sqrt n}\right) + n\cdot \frac 1{\sqrt n} = 0$$

Nun gilt allgemein
$$Var(X) = E(X^2) - (E(X))^2$$

Da \(E\left(X_{n,i}\right) = 0\) gilt also

$$Var\left(X_{n,i}\right) = E\left(X_{n,i}^2\right) $$$$= (-n)^2\cdot \frac 1{\sqrt n} + 0^2\cdot \left(1-\frac 2{\sqrt n}\right) + n^2\cdot \frac 1{\sqrt n} =2n\sqrt n$$

Avatar von 11 k

Vielen lieben Dank, dass hilft sehr!!

Ich habe noch eine kurze Frage: Könntest du mir vielleicht noch sage, was genau das mit dem Dreiecksschema zu tun hat, bitte?

Die bisherigen Berechnungen hatten nichts mit dem Dreiecksschema zu tun.

Aber ich nehme an, dass mit den Zufallsgrößen noch weiter gerechnet wird.

In einem deiner Screenshots gibt es dann eine Zufallsgröße \(T_n\), die aus den \(X_{n,i}\) zusammengebaut wird.

Aber wohin die Reise diesezüglich gehen soll, kann ich aufgrund fehlenden Kontextes nicht sagen.

Oha, das ist beeindruckend, dass du das ohne den Kontext siehst, vielen Dank für die Antwort. Das war tatsächlich der fehlende Baustein:)

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