Alle drei Ableitungen von E-Funktion

Question

Aufgabe:

(-2x-2) * e^-0,5x

Bilde die ersten drei Ableitungen.

Problem/Ansatz:

Könntet ihr mir bitte helfen. Ich kann das nicht mit E-Funktionen nicht.

Comments

(-2x-2) * e^-0,5x

Das ist keine Exponentialfunktion

y = (-2x-2) * e^(-0,5x) wäre eine Exponentialfunktion

Answer 1

Hallo,

die Ableitung einer e-Funktion \(f(x)=e^{kx}\) ist \(f'(x)=k\cdot e^{kx}\)

Dann kannst du mit der Produktregel arbeiten

\( f(x)=u(x) \cdot v(x) \Longrightarrow f^{\prime}(x)=v(x) \cdot u^{\prime}(x)+u(x) \cdot v'(x) \)

\(f(x)=(-2x-2)\cdot e^{-0,5x}\\ u=-2x-2\quad u'=-2\\ v=e^{-0,5x}\quad v'=-0,5e^{-0,5x}\\[10pt] f'(x)=e^{-0,5x}\cdot (-2)+(-2x-2)\cdot (-0,5)e^{-0,5x}\\ =e^{-0,5x}\cdot (-2+x+1)\\ =e^{-0,5x}\cdot (x-1)\)

Die anderen beiden Ableitungen kannst du auf die gleiche Art bilden oder dich melden, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

Answer 2

Produkt-und Kettenregel

u= -2x-2 -> u' = -2

v= e^(-0,5x) -> v' = -0,5e^(-0,5x)

Es gilt:

f(x) = e^(g(x)) -> f'(x)= g'(x)*e^(g(x))

Das sollte nicht allzu schwer sein.

hier ein Tool mit Weg:

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 3

\((-2x-2) * e^{-0,5x}=\frac{-2x-2}{e^{0,5x}} \)

Ableitung mit der Quotientenregel:

\(u=-2x-2\)   →  \(u´=-2\)

\(v= e^{0,5x} \)→\(v´= e^{0,5x}*0,5 \)

Regel: \( \frac{u´*v-u*v´}{v^2} \)

\((\frac{-2x-2}{e^{0,5x}})´=\frac{-2*e^{0,5x}-(-2x-2)*e^{0,5x}*0,5}{(e^{0,5x})^2} \)

Nun kannst du  \(e^{0,5x} \) ausklammern und gleich mit dem Nenner kürzen:

\(\frac{-2-(-2x-2)*0,5}{e^{0,5x}} =\frac{-2+x+1}{e^{0,5x}}=\frac{x-1}{e^{0,5x}}\)