Berechnen Sie die 3 Ableitungen der Funktion und gebe sie die allgemeine Gleichung für alle n an.

Question

Bin Aufgabe:

Berechnen Sie die 3 Ableitungen der Funktion und gebe sie die allgemeine Gleichung für alle n an. (Induktion muss nicht bewiesen werden)

$f(x)=e^{x^{2}}$

$f^{\prime}(x)=2 x e^{x^{2}}$

$f^{\prime \prime}(x)=\left(2+4 x^{2}\right) \cdot e^{x^{2}}$

$f^{\prime \prime \prime}(x)=\left(12 x+8 x^{3}\right) \cdot e^{x^{3}}$

Mein Lösungsansatz wäre:

$g^{n}(x)=\left(Z a h l+2^{n} \cdot x^{n}\right) \cdot e^{x^{2}}$

Ich komme leider nicht auf die erste Zahl in der Klammer und wenn man die Funktion ausklammert kommt man zwar auf die Faktoren 1;2 und 4, aber die erste Zahl in der Klammer ist dann 0,1 und 3

Answer 1

Deine ersten beiden Ableitungen sind richtig. Bei der dritten Ableitung sollte es $\left(8x^3+12x\right)\mathrm{e}^{x^2}$ heißen. Die $n$-te Ableitung ist leider nicht ganz richtig: Die fünfte Ableitung ist zum Beispiel: $\left(32x^5+160x^3+120x\right)\mathrm{e}^{x^2}$, was nicht zu deiner $n$-ten Ableitung passen würde, welche $g^5(x)=\left(c+32\cdot x^5\right) \mathrm {e}^{x^2}$ für eine Konstante $c$ wäre. Die $\left(2^n\cdot x^n\right) \mathrm {e}^{x^2}$ stimmen schon Mal. Trotzdem kommen in höheren Ableitungen neue Terme dazu, also kann es keine Konstante $c$ in der $n$-ten Ableitung geben. Hier ein Versuch die $n$-te Ableitung zu finden:

Sei $y=e^{x^2}$. Wir wollen $\dfrac{\mathrm d^n y}{\mathrm dx^n}$ finden.
$$\begin{aligned}\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm dx}&=2x y\end{aligned}\\ \frac{ \mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=2x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+2y\\ \frac{\mathrm d^3 y}{\mathrm dx^3} = 2x \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} + 4\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\\ \frac{\mathrm d^4 y}{\mathrm dx^4} = 2x \frac{\mathrm d^3 y}{\mathrm dx^3} + 6\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}.$$ Meine Vermutung für die Rekursion ist also: $$\displaystyle \frac{\mathrm d^n y}{\mathrm dx^n} = 2x \frac{\mathrm d^{n-1} y}{\mathrm dx^{n-1}}+2(n-1) \frac{\mathrm d^{n-2} y}{\mathrm dx^{n-2}}.$$ Diese kann man noch umformen in eine Reihendarstellung: Sei $a_k=\frac{\mathrm d^{k}y}{\mathrm d x^k}$. Dann haben wir die Reihe $a_k=2x\cdot a_{k-1}+2(n-1)\cdot a_{k-2}$, mit $k\in\mathbb{N}$. Man müsste die Rekursion noch auflösen, um auf eine Repräsentation der $n$-ten Ableitung zu kommen, siehe: How to get nth derivative of $e^{x^2/2}$ und Find an expression for the n-th derivative of $f(x)=e^{x^2}$.

Ich weiß leider nicht, wie genau ihr das in eurer Aufgabe ausführen sollt. Vielleicht reicht deinem Lehrer/Professor auch schon die rekursive Notation? Falls nicht, dann gucke dir die Links genauer an. Dort wird eine explizite Gleichung für die $n$-te Ableitung von $e^{x^2}/2$ angegeben. Dieses Verfahren kann man analog dann auch für die $n$-te Ableitung von $e^{x^2}$ anwenden - dafür braucht man die Taylorreihenentwicklung im speziellen Fall für den Entwicklungspunkt $x_0=0$, die MacLaurinsche Reihe.

Comments

Deine Ableitungen sind richtig

Die dritte Ableitung ist falsch.

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Den Schreibfehler beim Fragesteller habe ich nicht gesehen, danke. Das werde ich noch in meiner Antwort hinzufügen.