Deine ersten beiden Ableitungen sind richtig. Bei der dritten Ableitung sollte es \(\left(8x^3+12x\right)\mathrm{e}^{x^2}\) heißen. Die \(n\)-te Ableitung ist leider nicht ganz richtig: Die fünfte Ableitung ist zum Beispiel: \(\left(32x^5+160x^3+120x\right)\mathrm{e}^{x^2}\), was nicht zu deiner \(n\)-ten Ableitung passen würde, welche \(g^5(x)=\left(c+32\cdot x^5\right) \mathrm {e}^{x^2}\) für eine Konstante \(c\) wäre. Die \(\left(2^n\cdot x^n\right) \mathrm {e}^{x^2}\) stimmen schon Mal. Trotzdem kommen in höheren Ableitungen neue Terme dazu, also kann es keine Konstante \(c\) in der \(n\)-ten Ableitung geben. Hier ein Versuch die \(n\)-te Ableitung zu finden:
Sei \(y=e^{x^2}\). Wir wollen \(\dfrac{\mathrm d^n y}{\mathrm dx^n}\) finden.
$$\begin{aligned}\dfrac{\mathrm d y}{\mathrm dx}&=2x y\end{aligned}\\ \frac{ \mathrm d^2y}{\mathrm dx^2}=2x\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}+2y\\ \frac{\mathrm d^3 y}{\mathrm dx^3} = 2x \frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2} + 4\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}\\ \frac{\mathrm d^4 y}{\mathrm dx^4} = 2x \frac{\mathrm d^3 y}{\mathrm dx^3} + 6\frac{\mathrm d^2 y}{\mathrm dx^2}.$$ Meine Vermutung für die Rekursion ist also: $$\displaystyle \frac{\mathrm d^n y}{\mathrm dx^n} = 2x \frac{\mathrm d^{n-1} y}{\mathrm dx^{n-1}}+2(n-1) \frac{\mathrm d^{n-2} y}{\mathrm dx^{n-2}}.$$ Diese kann man noch umformen in eine Reihendarstellung: Sei \(a_k=\frac{\mathrm d^{k}y}{\mathrm d x^k}\). Dann haben wir die Reihe \(a_k=2x\cdot a_{k-1}+2(n-1)\cdot a_{k-2}\), mit \(k\in\mathbb{N}\). Man müsste die Rekursion noch auflösen, um auf eine Repräsentation der \(n\)-ten Ableitung zu kommen, siehe: How to get nth derivative of \(e^{x^2/2}\) und Find an expression for the n-th derivative of \(f(x)=e^{x^2}\).
Ich weiß leider nicht, wie genau ihr das in eurer Aufgabe ausführen sollt. Vielleicht reicht deinem Lehrer/Professor auch schon die rekursive Notation? Falls nicht, dann gucke dir die Links genauer an. Dort wird eine explizite Gleichung für die \(n\)-te Ableitung von \(e^{x^2}/2\) angegeben. Dieses Verfahren kann man analog dann auch für die \(n\)-te Ableitung von \(e^{x^2}\) anwenden - dafür braucht man die Taylorreihenentwicklung im speziellen Fall für den Entwicklungspunkt \(x_0=0\), die MacLaurinsche Reihe.
