Berechne Nullstellen und gebe eine vollständige Produktdarstellung (Linearfaktoren des Polynoms) der Funktion an

Question

Gegeben ist die Funktion \( f(x) = e^{x}\left(x^{3}-3,5 x^{2}-6,5 x+9\right) \).

Man berechne sämtliche Nullstellen und gebe eine vollständige Produktdarstellung (Linearfaktoren des Polynoms) der Funktion an.

Answer 1

f ( x ) = e^{-x} * ( x^3 - 3.5 * x^2 - 6.5 * x + 9 )
Ein Produkt ist dann null wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist.
Die e-Funktion ist stets positiv. Also bleibt zu untersuchen
x^3 - 3.5 * x^2 - 6.5 * x + 9 = 0
Im ersten Schritt muß/darf geraten werden. Lösung x = 1
1^3 - 3.5 * 1^2 - 6.5 * 1 + 9 = 0 | stimmt
Eine Nullstelle wäre x = 1 oder ( x - 1 ) = 0. Jetzt teile ich
das Polynom durch ( x - 1 )
( x^3 - 3.5 * x^2 - 6.5 * x + 9 ) : ( x - 1 ) =  x^2 - 2.5x - 9
 x^3 - x^2
------------
         - 2.5 * x^2 - 6.5 * x  + 9
         - 2.5 * x^2 + 2.5 x
         -----------------------
                          - 9 x + 9
                          - 9x + 9
                          ------------

Restterm
  x^2 - 2.5x - 9 = 0  | pq-Formel oder quadratische Ergänzung
  x^2  - 2.5 x + (1.25)^2 = 9 + 1.25^2
  ( x - 1.25 )^2 = 10.5625  | Wurzelziehen
    x - 1.25 = ±3.25

x = 4.5
x = -2

f ( x ) = e^{-x} * ( x^3 - 3.5 * x^2 - 6.5 * x + 9 ) kann ersetzt werden durch
f ( x ) = e^{-x} * ( x -1 ) * ( x - 4.5 ) * ( x + 2 )

   

Answer 2

f(x) = e^-x * (x³ - 3,5x² - 6,5x + 9)

Eine Produkt wird dann = 0, wenn zumindest einer der Faktoren = 0 ist.

e^-x ≠ 0 für alle x

Also suchen wir die Nullstellen für den Term innerhalb der Klammern.
Durch Raten kommt man auf die 1. Nullstelle x₁ = 1
Dann Polynomdivision:

(x³ - 3,5x² - 6,5x + 9) : (x - 1) = x² - 2,5x - 9

x³ - x²

---------

-2,5x² - 6,5x

-2,5x² + 2,5x

-------------------

-9x + 9

-9x + 9

-----------

0

Die Nullstellen des Terms

x² - 2,5x - 9

findet man mit der pq-Formel

x_2,3 = 1,25 ± √(1,5625 + 9) = 1,25 ± 3,25

x₂ = 4,5

x₃ = -2

Mit Hilfe der fett angegebenen Nullstellen kann man jetzt eine faktorisierte Form der Funktion angeben:

f(x) = e^-x * (x - 1) * (x + 2) * (x - 4,5)

Besten Gruß