Lagebeziehung von Gerade durch P1 und P2 und Ebene durch A, B und C?

Question

Gegeben sind die Gerade \( \mathrm{g} \) und eine Ebene \( \varepsilon \). Wie liegen diese zueinander? Falls sie gemeinsame Punkte haben, gebe man diesc in geeigneter Darstellungsform an. Falls nicht, berechne man den Abstand. Gerade g durch die Punkte \( \mathrm{P}_{1}, \mathrm{P}_{2} \)

\( \mathrm{P}_{1}(1 ; 2 ; 3), \mathrm{P}_{2}(-1 ; 3 ; 6) \)

Ebene \varepsilon durch die Punkte A, B, C

A \( (0 ; 1 ;-2), B(-3 ; 4 ; 5), C(-1 ; 0 ;-3) \)

Comments

Erstelle vorerst mit den Standardmethoden eine Parametergleichung für g und eine Koordinatengleichung für E.

Answer 1

[-1, 3, 6] - [1, 2, 3] = [-2, 1, 3]

([-3, 4, 5] - [0, 1, -2]) ⨯ ([-1, 0, -3] - [0, 1, -2]) = [4, -10, 6]

[-2, 1, 3]·[4, -10, 6] = 0

Damit liegt die Gerade entweder in der Ebene oder parallel zur Ebene

E: 4·x - 10·y + 6·z = [0, 1, -2]·[4, -10, 6]
E: 4·x - 10·y + 6·z = -22

d = (4·x - 10·y + 6·z + 22) / √(4^2 + 10^2 + 6^2)
d = (4·1 - 10·2 + 6·3 + 22) / √(4^2 + 10^2 + 6^2) = 1.947

Ich hoffe das ist jetzt der Abstand.